✔ 最佳答案
談到乘法的交換律, 則必須把 "數" 與 "運算" 放到抽象的層次.
小學中的 a×b 那種解釋, 即使在 a, b 是正整數, 也不一定可交
換, 因為賦予 a×b 某種意義的同時, b×a 可能是沒有意義的.
"3 的2 倍" 與 "2 的3倍" 基本上是不同的東西.
2012-06-20 13:13:24 補充：
在抽象層次, 要論乘法交換律, 則需問 "數" 是如何定義, "乘法"
運算又是如何定義. 例如, 若在正整數上定義了 a×b, 又規定了
a×b=b×a (因為某些情況它可解釋, 推而廣之; 或同時定義了加
法運算, 並且有乘對加的分配律等, 而能證明正整數乘法符合交
換律.) 於是可把乘法定義推廣到所有整數, 而後證明在整數中,
乘法符合交換律. 進而, 推廣到所有有理數, 定義
(b/a)×(d/c) = (b×d)/(a×c) 其中 a≠0, c≠0
則可證明有理數乘法符合交換律.
2012-06-20 13:13:36 補充：
由有理數擴展至所有實數稍為麻煩, 因為可能要用到 "極限"
的概念. 不過, 它仍然是可證明的.
事實上, 有一種方式是直接定義 "實數系", 而乘法交換律等直
接是定義中的一個條件. 也就是說在這樣的定義, a×b=b×a 是
被規定的, 而不是被證明的.
2012-06-26 21:14:12 補充：
a×b=b×a (因為某些情況它可解釋, 推而廣之; 或同時定義了加
法運算, 並且有乘對加的分配律等, 而能證明正整數乘法符合交
換律.)
[某些情況可解釋]
例如矩形面積, a×b 與 b×a 都是邊長 a 與 b 的矩形的面積.
又如正整數乘法: 9輛車, 各4輪, 總共 4×9=36個輪子. 這是標準
算法. 但若9輛車都是轎車, 可以說左前, 右前, 左後, 右後各9個
輪子, 因此4個位置共 9×4=36個輪子. 即 4×9 = 9×4.
把這些特例推廣成一般情形. 當然商樣的推廣是否不會產生問題,
本身又是待商榷的.
[由加法疌義及相關運算之定義證明]
就正整數而言, 假設定義正整數間乘法如下:
1×1=1,
(m+1)×n = m×n+n for all positive integers m,n,
m×(n+1) = m×n+m for all positive integers m,n.
則, 首先用數學歸納法證明
n×1 = n 且 1×n = n for all positive integers n
因此, n×1 = 1×n.
其次, 再利用數歸法證明: for any fixed positive integer n,
m×n = n×m for all positive integers m.
因此證明了正整數系乘法交換律.
對整數系, 定義
m×0 = 0, 0×n = 0 for all integers m, n,
又定義
(-m)×n = -(m×n) = m×(-n)
及 (-m)×(-n) = m×n
則可證明整數系中乘法亦符合交換律.
由整數系擴展至有理數系, 同樣把乘法及加法擴展到有理數系,
可再證明有理數系中乘法交換律成立.
由有理數系擴展至實數系, 則可能要採取極限論證. 而集合擴
展後, 當然運算也要擴展定義. 而依實數系如何由有理數系擴
展, 有相應的方式去證明如乘法交換律等在實數系仍成立.
再由實數系擴展至複數系, 運算又擴展定義, 而運算之性質也
需重新驗證.
然而, 有另一種方式定義實數系, 它不是以上述數系擴展方式
一步一步擴展而成, 而是直接無中生有地定義什麼是實數系,
這其中包括實數集以及實數中的加、乘運算, 及實數的順序關
系或正、負數的概念. 這樣的定義, 其中加法、乘法的基本特
性 (兩運算各自的結合律、交換律、單位元素、反元素, 以及
乘對加的分配律), 都是定義內容之一. 請參閱 advanced calculus
(高等微積分) 的教本.
2012-06-26 21:22:36 補充：
為什麼加法、乘法的基本特性 (兩運算各自的結合律、交換律、單位元素、
反元素, 以及乘對加的分配律), 都是實數系定義內容之一?
(1) 事實上我們已知實數系的加、乘運算具有那些性質.
(2) 在公設化體系定義實數系(無中生有地定義實數系, 而非由數系
擴展慢慢建構), 必須規定一些必要的條件(定律,規則). 乘法(及
加法)的交換律、結合律等, 就是確定一個唯一的實數系必要
的條件.
2012-06-27 19:49:12 補充：
數學歸納法原理.
設 S 是正整數集 N 的子集.
若
(1) 1 在 S 中; 且
(2) k 在 S 中蘊含 k+1 在 S 中,
則 S=N.
應用這原理證明某性質對所有 n in N 都成立的
證明方法, 就稱數學歸納法.
2012-06-27 19:52:51 補充：
應用所列正整數乘法定義及數學歸納法,
可證明 n×1=n for all n in N.
[證]
(1) 1×1=1;
(2) 設 k×1=k, 其中 k in N,
則 (k+1)×1 = k×1+1 = k+1,
即 n=k 時 n×1=n 成立, 則 n=k+1 時也成立.
由 (1) & (2), 依數學歸納法原理, n×1=n 對所有 n in N 都成立.
2012-06-27 19:54:03 補充：
類似可證明 1×n=n 對所有正整數 n 都成立.
因此, 也證明了 n×1=1×n 對所有正整數 n 都成立.
2012-06-27 19:58:32 補充：
固定 n, 要證明 m×n=n×m 對所有 m in N 都成立.
[證]
(1) 1×n = n×1 已知成立.
(2) 設 k×n = n×k 成立, k in N.
則 (k+1)×n = k×n+n = n×k + n = n×(k+1).
由 (1) & (2) 及數歸原理, 得證:
固定任意 n in N 時, 對所有 m in N 均得 m×n=n×m.
因 n 也是任意的, 因此得證:
for all m, n in N, 均有 m×n=n×m.
以上證明了正整數中乘法交換律成立.
2012-06-27 20:04:53 補充：
由正整數系推至整個整數系是很顯然的.
至於有理數---所有有理數都可表示為兩個整數的比.
令 r=m/n, s=p/q, m,n,p,q 為整數.
則
r×s = (m/n)×(p/q) = (m×p)/(n×q) = (p×m)/(q×n) = (p/q)×(m/n) = s×r.
至於有理數系推至實數系, 涉及實數定義, 其間可能要利用
極限或其他概念, 比較麻煩, 就不再贅述了. 事實上, 既然連
"數學歸納法" 都不知道, 可能沒學過高中數學, 那麼要談極
限是很難理解的, 因此很難再談下去.
2012-11-16 20:35:44 補充：
為什麼 (a/b)×(c/d) = (ac)/(bd).
這要看是從 "實務"(算術) 層次, 或從 "代數"(數的運算) 來看.
從實務層次來看, 這是國小算術教的東西, 可以用具體例子去
理解.
從 "代數" 層次來看, 一是定義, 二是合理性.
定義: 有理數的 "乘法" 就是那樣定義.
定義就是規定, 規定只有合理與否, 可以說沒有對錯問題.
2012-11-16 20:36:00 補充：
此定義的合理性, 則是:
(a/b)×(c/d) = (a×(1/b))×(c×(1/d)) = (a×c)×((1/b)×(1/d)) = (ac)×(1/(bd))
上列等式中 (1/b) 與 (1/d) 可視為與 b, d 相關的某種數
(事實上分別是 b 與 d 的乘法反元素). 所以第一個等式
可以說是來自 "除法" 的定義. 第二個等式是乘法的結合
律與交換律的應用. 第三個等式是關於乘法反元素的性質.
上列只是在說明所做定義 "合理" ... 而該項 "合理" 的理
由卻來自 "尚未證明" 的性質...
2012-11-16 20:40:08 補充：
雖然上述 "合理" 的理由來自尚未證明的運算性質, 但仍能
說明所做定義的合理性. 因為 "定義" 的合理性並不是定義
"可以用" 的必要條件 --- 定義無所謂正確與否, 只需要是
"可以用", 或者一般說法: 定義完善的.
