任何數乘法的交換律怎麼證明?請看完整問題

2012-06-17 3:43 pm
2*3=3*2

這是可以證明的(用長方形面積的概念)
同一個長方形面積,長*寬=寬*長........非常的直觀

如果是有理數乘法交換律,也非常好理解
因為有理數和自然數共比

但是到了無理數的乘法交換律,要怎麼去理解?

"根號2"是真的有這個長度"存在"

根號2是可造數

所以(根號2)*3和3*(根號2)也可以用長方形面積概念來證明
雖然 根號2)*3=3*(根號2)
但是乘數和被乘數的順序對調後,所代表的意義也不同了吧?

(根號2)*3的意義是(根號2)連加3次

但是3*(根號2)呢???3連加(根號2)次???不是吧~= =!...那它所代表的意義
又是什麼呢?

再推廣到虛數
3*i=i*3....這個更無法理解它的原因,要怎麼證明?
更新1:

TO TimC大 沒關係...說說看吧 我很想聽聽看別人的看法 http://lib8.com/pdf/03/01/2012-03-05/663.html 彭加勒 科學與假設Sam大說的那本書)的電子書下載網頁 內容是簡體的 如果看不懂的話,可以轉WORD再翻譯

更新2:

TO展妹 這並不是咬文嚼字 乘法的乘數和被乘數交換位置後 所代表的意義本來就是不同的 只是因為交換律的緣故.讓算出來的值是一樣的 我的問題是 為什麼交換律是對的?

更新3:

請各為幫忙,就算只是意見也好 我希望聽聽大家的看法 謝謝

更新4:

拜託大家一下 就算只是意見也好

更新5:

TO 95大 乘法交換性質使被乘數和乘數在算式中的位置失去必然性. 所以....我想問的是...為什麼???"""乘""法""有""交""換""律""""???? 而且3*x和x*3 因為交換律,我們"都可以"解釋為 x+x+x 也"都可以"解釋為(3+3+...+3)共有x個 是嗎??

更新6:

TO95大 那這樣為何要規定乘數和被乘數這兩個詞? 我去GOOGLE一下 乘法交換律似乎是可證明的 只是我都看不懂....用到一堆符號

更新7:

TO老怪物大 a×b=b×a (因為某些情況它可解釋,推而廣之 哪些情況? 而其它不是正整數的數,是推廣出來的? 定義, a×b=b×a 是 被規定的, 而不是被證明的. 那為什麼這樣規定?總要有理由吧?

更新8:

(m+1)×n = m×n+n for all positive integers m,n, m×(n+1) = m×n+m for all positive integers m,n. 則, 首先用數學歸納法證明 n×1 = n 且 1×n = n for all positive integers n 用數學歸納法證明 1*n=n*1 看不懂=ˇ=?? 什麼是數學歸納法?

更新9:

........ 發問時間快沒了 先選你當最佳解答好了 再用意見慢慢回答好了 謝謝 喔

回答 (6)

2012-06-27 5:14 am
✔ 最佳答案
談到乘法的交換律, 則必須把 "數" 與 "運算" 放到抽象的層次.
小學中的 a×b 那種解釋, 即使在 a, b 是正整數, 也不一定可交
換, 因為賦予 a×b 某種意義的同時, b×a 可能是沒有意義的.
"3 的2 倍" 與 "2 的3倍" 基本上是不同的東西.

2012-06-20 13:13:24 補充:
在抽象層次, 要論乘法交換律, 則需問 "數" 是如何定義, "乘法"
運算又是如何定義. 例如, 若在正整數上定義了 a×b, 又規定了
a×b=b×a (因為某些情況它可解釋, 推而廣之; 或同時定義了加
法運算, 並且有乘對加的分配律等, 而能證明正整數乘法符合交
換律.) 於是可把乘法定義推廣到所有整數, 而後證明在整數中,
乘法符合交換律. 進而, 推廣到所有有理數, 定義
(b/a)×(d/c) = (b×d)/(a×c) 其中 a≠0, c≠0
則可證明有理數乘法符合交換律.

2012-06-20 13:13:36 補充:
由有理數擴展至所有實數稍為麻煩, 因為可能要用到 "極限"
的概念. 不過, 它仍然是可證明的.

事實上, 有一種方式是直接定義 "實數系", 而乘法交換律等直
接是定義中的一個條件. 也就是說在這樣的定義, a×b=b×a 是
被規定的, 而不是被證明的.

2012-06-26 21:14:12 補充:
a×b=b×a (因為某些情況它可解釋, 推而廣之; 或同時定義了加
法運算, 並且有乘對加的分配律等, 而能證明正整數乘法符合交
換律.)


[某些情況可解釋]
例如矩形面積, a×b 與 b×a 都是邊長 a 與 b 的矩形的面積.
又如正整數乘法: 9輛車, 各4輪, 總共 4×9=36個輪子. 這是標準
算法. 但若9輛車都是轎車, 可以說左前, 右前, 左後, 右後各9個
輪子, 因此4個位置共 9×4=36個輪子. 即 4×9 = 9×4.
把這些特例推廣成一般情形. 當然商樣的推廣是否不會產生問題,
本身又是待商榷的.


[由加法疌義及相關運算之定義證明]
就正整數而言, 假設定義正整數間乘法如下:
1×1=1,
(m+1)×n = m×n+n for all positive integers m,n,
m×(n+1) = m×n+m for all positive integers m,n.
則, 首先用數學歸納法證明
n×1 = n 且 1×n = n for all positive integers n
因此, n×1 = 1×n.
其次, 再利用數歸法證明: for any fixed positive integer n,
m×n = n×m for all positive integers m.
因此證明了正整數系乘法交換律.

對整數系, 定義
m×0 = 0, 0×n = 0 for all integers m, n,
又定義
(-m)×n = -(m×n) = m×(-n)
及 (-m)×(-n) = m×n
則可證明整數系中乘法亦符合交換律.

由整數系擴展至有理數系, 同樣把乘法及加法擴展到有理數系,
可再證明有理數系中乘法交換律成立.

由有理數系擴展至實數系, 則可能要採取極限論證. 而集合擴
展後, 當然運算也要擴展定義. 而依實數系如何由有理數系擴
展, 有相應的方式去證明如乘法交換律等在實數系仍成立.

再由實數系擴展至複數系, 運算又擴展定義, 而運算之性質也
需重新驗證.


然而, 有另一種方式定義實數系, 它不是以上述數系擴展方式
一步一步擴展而成, 而是直接無中生有地定義什麼是實數系,
這其中包括實數集以及實數中的加、乘運算, 及實數的順序關
系或正、負數的概念. 這樣的定義, 其中加法、乘法的基本特
性 (兩運算各自的結合律、交換律、單位元素、反元素, 以及
乘對加的分配律), 都是定義內容之一. 請參閱 advanced calculus
(高等微積分) 的教本.


2012-06-26 21:22:36 補充:
為什麼加法、乘法的基本特性 (兩運算各自的結合律、交換律、單位元素、
反元素, 以及乘對加的分配律), 都是實數系定義內容之一?

(1) 事實上我們已知實數系的加、乘運算具有那些性質.
(2) 在公設化體系定義實數系(無中生有地定義實數系, 而非由數系
擴展慢慢建構), 必須規定一些必要的條件(定律,規則). 乘法(及
加法)的交換律、結合律等, 就是確定一個唯一的實數系必要
的條件.

2012-06-27 19:49:12 補充:
數學歸納法原理.

設 S 是正整數集 N 的子集.

(1) 1 在 S 中; 且
(2) k 在 S 中蘊含 k+1 在 S 中,
則 S=N.

應用這原理證明某性質對所有 n in N 都成立的
證明方法, 就稱數學歸納法.

2012-06-27 19:52:51 補充:
應用所列正整數乘法定義及數學歸納法,
可證明 n×1=n for all n in N.
[證]
(1) 1×1=1;
(2) 設 k×1=k, 其中 k in N,
則 (k+1)×1 = k×1+1 = k+1,
即 n=k 時 n×1=n 成立, 則 n=k+1 時也成立.
由 (1) & (2), 依數學歸納法原理, n×1=n 對所有 n in N 都成立.

2012-06-27 19:54:03 補充:
類似可證明 1×n=n 對所有正整數 n 都成立.

因此, 也證明了 n×1=1×n 對所有正整數 n 都成立.

2012-06-27 19:58:32 補充:
固定 n, 要證明 m×n=n×m 對所有 m in N 都成立.
[證]
(1) 1×n = n×1 已知成立.
(2) 設 k×n = n×k 成立, k in N.
則 (k+1)×n = k×n+n = n×k + n = n×(k+1).
由 (1) & (2) 及數歸原理, 得證:
固定任意 n in N 時, 對所有 m in N 均得 m×n=n×m.

因 n 也是任意的, 因此得證:
for all m, n in N, 均有 m×n=n×m.


以上證明了正整數中乘法交換律成立.

2012-06-27 20:04:53 補充:
由正整數系推至整個整數系是很顯然的.

至於有理數---所有有理數都可表示為兩個整數的比.
令 r=m/n, s=p/q, m,n,p,q 為整數.

r×s = (m/n)×(p/q) = (m×p)/(n×q) = (p×m)/(q×n) = (p/q)×(m/n) = s×r.

至於有理數系推至實數系, 涉及實數定義, 其間可能要利用
極限或其他概念, 比較麻煩, 就不再贅述了. 事實上, 既然連
"數學歸納法" 都不知道, 可能沒學過高中數學, 那麼要談極
限是很難理解的, 因此很難再談下去.

2012-11-16 20:35:44 補充:
為什麼 (a/b)×(c/d) = (ac)/(bd).

這要看是從 "實務"(算術) 層次, 或從 "代數"(數的運算) 來看.


從實務層次來看, 這是國小算術教的東西, 可以用具體例子去
理解.


從 "代數" 層次來看, 一是定義, 二是合理性.

定義: 有理數的 "乘法" 就是那樣定義.

定義就是規定, 規定只有合理與否, 可以說沒有對錯問題.

2012-11-16 20:36:00 補充:
此定義的合理性, 則是:

(a/b)×(c/d) = (a×(1/b))×(c×(1/d)) = (a×c)×((1/b)×(1/d)) = (ac)×(1/(bd))

上列等式中 (1/b) 與 (1/d) 可視為與 b, d 相關的某種數
(事實上分別是 b 與 d 的乘法反元素). 所以第一個等式
可以說是來自 "除法" 的定義. 第二個等式是乘法的結合
律與交換律的應用. 第三個等式是關於乘法反元素的性質.

上列只是在說明所做定義 "合理" ... 而該項 "合理" 的理
由卻來自 "尚未證明" 的性質...

2012-11-16 20:40:08 補充:
雖然上述 "合理" 的理由來自尚未證明的運算性質, 但仍能
說明所做定義的合理性. 因為 "定義" 的合理性並不是定義
"可以用" 的必要條件 --- 定義無所謂正確與否, 只需要是
"可以用", 或者一般說法: 定義完善的.
2012-06-27 5:41 am
(m+1)×n = m×n+n for all positive integers m,n,
m×(n+1) = m×n+m for all positive integers m,n.
則, 首先用數學歸納法證明
n×1 = n 且 1×n = n for all positive integers n

用數學歸納法證明
1*n=n*1

看不懂=ˇ=??

什麼是數學歸納法?

2012-06-30 22:15:34 補充:
抱歉!這麼晚才來看

交換律在N中成立
推廣到有理數,有理數也成立

我想問一個問題,分數相乘
為什麼是
分子*分子/分母*分母?
可以證明嗎?或者是它的原因是什麼?

另外乘法的分配律.結合律大概也是這樣證明吧?

至於無理數,好像是要用稠密性證明?
2012-06-19 1:24 am
http://www.mtedu.tmue.edu.tw/showprint.asp?topic_id=2685&forum_id=51
這個網址你參考一下 雖然不能完全解釋你的問題

2012-06-18 17:30:22 補充:
我覺得乘法交換律只是因為方便而存在吧
若冗長的式子中 還會顧慮這麼多嗎
乘法交換律是屬於計算型 非觀念型
2012-06-19 1:23 am
1個袋子裡有5顆球,2個袋子有10顆球...表示它意義的式子:5*2=10

1個袋子裡有2顆球,5個袋子裡有10顆球...表示它意義的式子:2*5=10

雖然算出來值都相同,都是10顆球,但是它所代表的意義是不同的 .

其實「先寫的數是被乘數,後寫的數是乘數」只是一種過渡性的教學約定,並非由數學原理衍生。

乘法交換性質使被乘數和乘數在算式中的位置失去必然性.

從應用處境區分被乘數和乘數是概念理解的一種表現,把它約化為乘式中書寫被乘數和乘數的順序規定,只是過渡性的安排,不應奉為鐵律。

2012-06-19 14:52:48 補充:
乘""法""有""交""換""律,應該是規定好運算.


3*x和x*3

因為交換律,我們"都可以"解釋為 x+x+x

也"都可以"解釋為(3+3+...+3)共有x個

對,但意思不同,雖然答案相同.
2012-06-17 11:09 pm
我個人認為不用太拘泥於那種咬文嚼字上面
其實把3*(根號2)想成有三個根號2不是也OK嗎?
2012-06-17 9:24 pm
個人認為用長方形概念是描述現象,不叫做證明...OA O
不過在看完Sam大提供的那本書之前,我應該不會再說太多OA O...


收錄日期: 2021-05-04 01:47:48
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120617000010KK01269

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