數的首位數字和末位數字

1)
53144...⁷⁷ x 27³ < 27³¹¹ < 53145...⁷⁷ x 27³
42390... ¹⁵ x 53144...² x 27³ < 27³¹¹ < 42395...¹⁵ x 53145...² x 27³
13687... ³ x 53144...² x 27³ < 27³¹¹ < 13696...³ x 53145...² x 27³
25640... x 28242... x 19683 < 27³¹¹ < 25692... x 28244... x 19683
14252... < 27³¹¹ < 14283...
∴ 27³¹¹ 的首三位數字是 142。

27³¹¹
≡ 907⁶² x 27 (mod 1000)
≡ 649³¹ x 27 (mod 1000)
≡ 449¹º x 649 x 27 (mod 1000)
≡ 849³ x 449 x 649 x 27 (mod 1000)
≡ 49 x 449 x 649 x 27 (mod 1000)
≡ 523
∴ 27³¹¹ 的末三位數字是 523。
2)
log 956²⁴
= 24 log 956
= 71.5309894...956²⁴
= 10 ^ 71.53098941...
= 10 ^ 0.53098941... x 10⁷¹
= 3.3961699... x 10⁷¹
∴ 956²⁴的首四位數字是 3396。

956²⁴
≡ 2816⁸ (mod 10000)
≡ 9856⁴(mod 10000)
≡ 144⁴ (mod 10000)
≡ 1696
∴ 956²⁴的末四位數字是 1696。

(1) 27^311 = 142.....523
(2) 956^24 = 3396......1696