多項式一題,請詳述解題.

已知多項式 f(x)=2x^3+ax^2+bx+c除以x^2－4x 所得餘式為7x+5，且 x－1是f(x)的因式，則f(x)除以x+2 所得餘式為____Solx^2－4x=x(x－4)設 f(x)=2x(x－4)(x－1)+px(x－4)+7x+5f(1)=p(1)(－3)+7+5=0p=4f(x)=2x(x－4)(x－1)+4x(x－4)+7x+5f(－2)=2(－2)(－6)(－3)+4(－2)(－6)－14+5=－72+48－14+5=－33

因 (x – 1) 是 f(x) 的因式, 所以f(x)=( x - 1)(2x² + px + q).
又因 f(x) 除以 (x² - 4x) 所得餘式為7x + 5, 所以 f(x) = x(x – 4)(2x + r) + 7x + 5.
比較兩式的同項係數 :
(x²) : -2 + p = -8 + r . . . (i)
(x) : -p + q = -4r + 7 . . . (ii)
(常數項) : -q = 5 . . . . . .(iii)
(iii) 得 q = -5, 代入(ii) + (i), 得
-2 – 5 = -8 + r – 4r + 7
==> r = 2
代入(i), 得
-2 + p = -8 + 2
==> p = -4
所以 f(x) = (x – 1)(2x² - 4x - 5) . . . [或 x(x - 4)(2x + 2) + 7x + 5]
所以 f(x) 除以 (x + 2) 所得餘式為
f(-2)
= (-2 – 1)(8 + 8 – 5) . . . [或 -2(-2 - 4)(-4 + 2) + 7(-2) + 5 = -24 - 14 + 5 = -33]
= -3(11)
= -33

設f(X)除以(X^2-4X)的商為Q(X)

所以f(X) = (X^2-4X)Q(X)+7X+5 = X(X-4)Q(X)+7X+5
將X=0、X=4代入上式， f(0)=5 且 f(4)=33

又(X-1)為f(X)的因式 ，所以f(1)=0

因為f(X)=2X^3+aX^2+bX+c
分別將X=0、4、1帶入
得到
1. f(0)=c=5
2. f(4)=128+16a+4b+c = 33 ，將c=5帶入
=>16a+4b+100=0 => 4a+b+25 =0 -----(1)式
3. f(1)=2+a+b+c = 0 ，將 c=5帶入
=> a+b+7=0 ------(2)式
由(1)、(2)式 ，得 a= -6 b=-1
所以f(X)=2X^3-6X^2-X+5
除以(x+2)的於式 即為f(-2) = -33
Ans:-33

您好 很高興為您解答

首先把條件列好

f(x)=2x³+ax²+bx+c=(x²-4x)(mx+n)+7x+5

三次項只有1*m 所以m=2

f(x)=2x³+ax²+bx+c=(x²-4x)(2x+n)+7x+5

x²-4x=x(x-4)

x=0 帶入

得到c=5

x=4帶入

得到 128+16a+4b+5=28+5

整理一下 16a+4b= -100

4a+b= -25---(1)

(x-1)是 f(x)的因數 表示 f(x)=(x-1)(cx²+dx+e) 把1代入為0=> f(1)=0

帶進去 f(1)=2*1³+a*1²+b*1+5=0 => a+b+5= -2 =>a+b= -7---(2)


(1),(2)式相減 a= -6 b= -1

所以f(x)=2x³-6x²-x+5

除以x+2 所以-2帶入 f(-2)= -33