多項式一題,請詳述解題過程中的假設.

解說中的是一般做法, 因f(1)=3, f(2)=6, f(3)=9, 所以設
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+3x, 使其餘數得3, 6, 9.

有否其他解法?　　
有. 設f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)+3x, 使f(1), f(2), f(3)的餘數也是3, 6, 9.
所以,
f(7) + f(-3)
= 7*6*5*4+21 + (-3)*(-4)*(-5)*(-6)–9
= 840 + 21 + 360 – 9
= 1212

多項式 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d，a，b，c，d為實數，已知f(1)=3，f(2)=6，
f(3)=9，則f(7)+ f(－3)=_____
Sol
本題3=3/1=6/2=9/3
故可假設成f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－k)+3x
但個人認為數學讀到連小細節都要知道未免太累
本人作法如下
設 f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)+p(x－1)(x－2)(x－3)+q(x－1)(x－2)+r(x－1)+3
f(2)=r(1)+3=6
r=3
f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)+p(x－1)(x－2)(x－3)+q(x－1)(x－2)+3x
f(3)=q(2)(1)+9=9
q=0
f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)+p(x－1)(x－2)(x－3)+3x
f(7)=7(6)(5)(4)+p(6)(5)(4)+21=861+120p
f(－3)=(－3)(－4)(－5)(－6)+p(－4)(－5)(－6)－9=351－120p
f(7)+f(－3)=1212

多項式 f(X)=X^4+aX^3+bX^2+cX+d，a，b，c，d為實數，已知f(1)=3, f(2)=6，f(3)=9，則f(7)+ f(－3)=?解答中說:可以假設f(X)=(X－1)(X－2)(X－3)(X－K)+3X最後 +3X 的原因為何? 是否可以說明如何道理?最後解答為f(7)+f(－3)= [120(7+K)+21]+[－120(－3+K)－9]=1212.本題是否還有其他解法?
(1)最後+3X的原因為何?f(X)=(X－1)(X－2)(X－3)(X－K)+3Xf(1)=0+3*1=3f(2)=0+3*2=6f(3)=0+3*3=9
(2)本題是否還有其他解法? 其他方法都非常麻煩.沒有比此法簡單!!