多項式一題,請詳述解題及技巧.

設f(x)為實係數三次多項式且最高次項的係數為1，已知f(1)=2，f(2)=4，f(7)=14,
1.f(x)=_________.Solf(x)=(x－1)(x－2)(x－7)+a(x－1)(x－2)+b(x－1)+2f(2)=b(1)+2=4b=2f(x)=(x－1)(x－2)(x－7)+a(x－1)(x－2)+2xf(7)=a(6)(5)+14=14a=0f(x)=(x－1)(x－2)(x－7)+2x=x^3－10x^2+25x－142.若f(x)=0 的最大根介於N與N+1，N為自然數，求N=______Solf(x)=x^3－10x^2+25x－14f(0)=－14<0f(1)=1－10+25－14=12>0f(2)=8－40+50－14=－6<0f(6)=216－360+150－14=－8<0f(7)=343－490+175－14=14>0f(0)<0，f(1)>0 =>有至少有一根在(0，1)f(1)>0，f(2)<0 =>有至少有一根在(1，2)f(6)<0，f(7)>0 =>有至少有一根在(6，7)SoN=6

設 f(x)=(x-1)(x-2)(x-7)+2x, 使f(1), f(2), f(7)的餘數是2, 4, 14.
所以 f(x) = x^3 - 10x^2 + 25x -14

因為 f(7) = 14, 而 f(6) = (6-1)(6-2)(6-7) + 2*6 = -8.
即 f(6)<0<f(7)
所以 N = 6