柯西不等式我忘記了~

x平方+y平方+z平方-2x+2y-4z-3=0

則(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9

由柯西不等式

[(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2][2^2+(-1)^2+(-2)^2]>=(2x-2-y-1-2z+4)^2

9*9>=(2x-y-2z+1)^2

-9<=2x-y-2z+1<=9

-10<=2x-y-2z<=8

8......ans

先配成三個完全平方式
(x^2 -2x+1)+(y^2 +2y+1)+(z^2-4z+4)-3-1-1-4=0
(配成完全平方裡的常數外面要扣回來)

=>(x-1)^2 +(y+1)^2 +(z-2)^2 =9

柯西不等式舉例
=>( (a)^2 +(b)^2 +(c)^2)((1)^2 +(2)^2 +(3)^2)大於等於(a+2b+3c)^2
括號內的未知數及常數相乘之後相加再加平方

這題就要這樣做，對照題目要的2x-y-2z
代表之後要乘的常數是2^2、 (-1)^2 、(-2)^2
[(x-1)^2 +(y+1)^2 +(z-2)^2][(2)^2+(-1)^2+(-2)^2]大於等於(2(x-1)-1(y+1)-2(z-2))^2
->9*(4+1+4)大於等於(2x-2-y-1-2z+4)^4
->81大於等於(2x-y-2z+1)^2
(把平方消掉)-> 9大於等於2x-y-2z+1大於等於 -9
題目要的2x-y-2z -> 9-1大於等於2x-y-2z大於等於-9-1
所以最大值為8 最小值為-10

假設x，y，z屬於R，若x^2+y^2+z^2－2x+2y－4z－3=0，則2x－y－2z
的最大值?
Sol
x^2+y^2+z^2－2x+2y－4z－3=0
x^2－2x+1+y^2+2y+1+z^2－4z+4=3+1+1+4
(x－1)^2+(y＋1)^2+(z－2)^2=9
[2^2+(－1)^2+(－2)^2)]*[ (x－1)^2+(y＋1)^2+(z－2)^2]
>=[2(x－1)－(y＋1)－2(z－2)]^2
(4+1+4)*9>=(2x－y－2z－2－1+4)^2
81>=(2x－y－2z+1)^2
9>=2x－y－2z+1>=－9
8>=2x－y－2z>=－10