物理求掉落速度

物體原有動能, 前進到桌邊改成轉動動能, 轉動使得質心上升, 重力做負功,
使得轉動變慢, 若動能太小, 質心無法超過桌緣, 則又掉回桌上,
若動能夠大, 重力做負功使得轉動變慢, 但仍使質心超過桌緣, 則重力作正功, 轉動又加快, 就必然會翻落桌下了

原有動能(1/2)Mv^2 , 遇到卡住點轉成轉動動能, 此時轉動動能仍為(1/2)Mv^2,
轉動時質心上升, 重力做負功最大值時發生在質心最高的時候, 此時質心高度距桌面為 √ 2 a, 因此重心提高 (√ 2-1)a 的高度, 重力做負功的大小=Mg( √2-1) a

因此 (1/2)Mv^2 > Mg( √2-1)a , 就有剩餘動能轉動導致翻落桌下
解得 v > √2g( √2-1)a

2012-06-03 23:39:36 補充：
碰撞後能量有損失, 要以角動量守恆來算,

2012-06-04 00:45:00 補充：
設碰撞時遇到的卡住點為原點, 碰撞時的力通過原點, 因此此力力矩為0, 角動量守恆
碰撞前的角動量為Mva= 碰撞後的角動量 I ω
ω= Mva/I =3Mva /8Ma^2= 3v/8a

轉動動能> 重力做負功的大小 , 則會翻落桌下
(1/2)I ω^2 > Mg( √2-1) a
(1/2) [(8/3)Ma^2 ] (3v/8a)^2 > Mg( √2-1) a
得v^2 > 16 g( √2-1) a/3
v> √16g( √2-1) a/3

2012-07-02 14:14:57 補充：
物體行走在平面上時, 重力和支撐力抵消
一直到碰撞瞬間皆抵銷. 角動量守恆用在碰撞前後瞬間.
到物體開始轉動起, 重力力矩就有功效了, 角動量就不守恆了
重力產生之力矩為逆時鐘,會使順時鐘轉動的物體轉動變慢.

在立方體撞擊到長條到開始轉動的瞬間對轉動軸而言合外力矩為零

<<<請問重力的力矩為零嗎???這樣角動量守恆還是成立???

怪了見鬼

圖不見 = =

msher( 研究生 1 級 )

方法是對的

但是轉動的動能算錯了

這題不僅僅角動量守恆

還力學能守恆

在立方體撞擊到長條到開始轉動的瞬間對轉動軸而言合外力矩為零，維持角動量守恆

撞擊前角動量L1=r×p=√2a*Mvsin(3π/4)=Mva

撞擊後角動量L2=Iω

L1=L2

=> Mva=Iω

=> ω=Mva/I……(1)

撞擊後初始轉動動能為(1/2)Iω^2

且要翻落桌面的條件為轉動動能要恰能使質心從鉛直座標a到達最高點√2a

亦即轉動動能全部轉為重力位能Mgh=Mg(√2-1)a

得到：

(1/2)Iω^2=Mg(√2-1)a

將(1)式的ω代入得：

(1/2)*(Mva)^2=MgI(√2-1)a

將I=(8/3)Ma^2代入整理得：

v^2=(16/3)g(√2-1)a

=>v=[(16/3)g(√2-1)a]^(1/2)

得解





備註：
收回前言...立方體碰觸長條時經過碰撞，能量一定有損失(不然立方體會回彈)，所以不能用能量觀點來解這題，要利用碰撞過程中角動量守衡來求

2012-06-02 23:22:10 補充：
To Feynman大：
1.本人無抄襲或搶答意圖，我還是PO了回答後才發現有人先回答了(如果知道的話就會PO意見)，令我驚訝的是還與我的解法很相似

2.解答應改為 v ≧ [(16/3)g(√2-1)a]^(1/2)

2012-06-02 23:32:03 補充：
我驚訝的部份是自己寫算式的時候也寫ω=3v/8a，但後來覺得改ω=Mva/I會比較好計算，所以重新寫一遍後就PO後者的計算式，結果看起來反而更像抄襲...

2012-06-03 01:20:44 補充：
3.由角動量守恆所計算出的轉動動能為(3/16)Mv^2，但初始動能為(1/2)Mv^2，代表角動量守恆期間有(5/16)Mv^2的動能轉變為其他形式的能量；之後在質心上升期間力學能守恆，便可視為轉動動能轉變為位能

2012-06-03 01:23:02 補充：
4.補充一下，算式部份我令轉動軸為固定參考座標原點來討論

　看完了msher大的解法我突然有感而發(我一看到題目也直覺的想這麼解)，因為這並不違背我們的直覺，但卻與答案相矛盾，為什麼？
　關鍵在於＂轉動＂的部分，我們必須符合(角)動量守恆的條件{相信各位專家也都能了解彼此的相似性,甚至等同性吧!}，因為"能量轉換不可能完全"！而相對運動所造成的力(矩)現象則是可以達到幾乎完全的成效的!
好吧!我們來正式解這題吧!首先根據角動量守恆可以列式:Iw=8Mwa^2/3=Mva --->w=3v/8a
或Mva/I (這個到後面比較好整理)
(這個角速度所提供的動能才是有效動能喔!!也就是即將翻動這塊東東的能量~)
接下來根據能量守恆我們可列出:Iw^2/2>ΔUmin=Mg(√2-1)a .............................
整理後即可得到你說的答案，對吧!?

轉動動能應是

1／2。m。v_CM + 1／2。I_CM。w^2

2012-06-02 18:28:17 補充：
1／2。m。( v_CM )^2 + 1／2。I_CM。w^2

才對