x^4=4^x的解有幾個?

以下是否正確不保證.


令 f(x) = 4^x - x^4
f(x) = 0 有二明顯解是 x=2 及 x=4.
再者, f(0) = 1, f(-1) = -3/4, 因此在 -1 與 0 之間有一解.f'(x) = (ln 4)4^x - 4x^3
x 為負或0時 f'(x) 恆正, 因此 f(x) = 0 僅有一負根.考慮 g(x) = (ln 4)4^x/(4x^3) = kx^{-3}4^x, k=(ln 4)/4.
則 g'(x) = k [-3+ln(4)x]x^{-4}4^x
當 x≧3/ln(4) 時 g'(x)>0, 即 g(x) 上升.
而 g(4)>1, 故 x≧4 時 g(x)>1, 即 f'(x)>0.
故 x≧4 時 f'(x) 恆正. 因此 f(x)=0 沒有大於 4 的根.g(x) 最小值發生在 x=3/ln(4), 此時 g(x)≒0.687 比1小,
即 f'(x) 為負.因此, f'(x) = 0 在 0 與 4 之間有2根,
其中較大根 (介於 3/ln(4) 與 4 之間) 對應 f(x) 之相對極小.由於 f(3) = 4^3-3^4 < 0 且 f(2)=0=f(4), 可知
當 x>0 時 f(x) 從 f(0)=1 降至 f(2)=0 再降至最低點後回升
至 f(4)=0, 而後即恆正.故 4^x = x^4 有三個根, 一負二正,
分別是 -0.766664696, 2 及 4.

2012-05-31 17:16:48 補充：
我只考慮實數根. 至於複數根, 恕我所學淺薄.

doraemonpaul ( 博士級 4 級 )大大

您給的意見 我滿有興趣的 但是還是有點不太懂 希望能給個完整的解題過程!! 拜託拜託!!!

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1612060906026

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahooknowledge/equation/transcendentalequation.jpg

參考資料：
my wisdom of maths + result from http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%3D4%5Ex + formula from http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

板主您好~
在此為您進行解說：

我們可以很直觀地找出4是其中一解。
然後處理算式的兩邊：

x^4 = 4^x
= > (x^2)^2 = (2^x)^2
因為 x^2 和 2^x 必不為負數，所以可以直接取平方根。
= > x^2 = 2^x

再使用一次直觀尋找法，得到 x = 2 也是其中一解。

最後取兩函數之導函數：

(x^4)' = 4*x^3
(4^x)' = ln4*4^x

x以4代入，得

4*x^3 = 256
ln4*4^x = 256*ln4
256*ln4 > 256
由此可知兩函數在 x = 4 以後的值是不會相交的。

除了正值之外，也要考慮負值。

由導函數可知，在 x < 0 時，
y = x^4 之切線斜率為負，y = 4^x 之切線斜率為正。
同時以 x = 0 代入原函數，得

x^4 = 0
4^x = 1

由整體趨勢而言，兩函數在 x < 0 時僅交於一點。
(該點之座標難以求出，詳見"一題有關指數的數學題目")

總結以上結果，共有3個解。

以上希望對板主有幫助~

這為 x^4 的圖

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC00965511/o/161205310439113872954930.jpg


這為 4^x 的圖

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC00965511/o/161205310439113872954931.jpg


所以交一點吧!!