Inequality

a /√(a²+8bc) + b /√(b²+8ca) + c /√(c²+8ab) ≥ 1
令 A = √(a²+8bc) , B = √(b²+8ca) , C = √(c²+8ab)
由柯西不等式 ,
(a/A + b/B + c/C) (aA + bB + cC)
≥ ( √(a/A) * √(aA) + √(b/B) * √(bB) + √(c/C) * √(cC) )²==>(a/A + b/B + c/C) ≥ (a + b + c)² / (aA + bB + cC) ...... ☆
另外 , 再一次以柯西不等式得出
(a + b + c) (a A² + b B² + c C²) ≥ (aA + bB + cC)²
√(a + b + c) √(a A² + b B² + c C²) ≥ aA + bB + cC ......◆
☆ * ◆ 得
(a/A + b/B + c/C) √(a + b + c) √(a A² + b B² + c C²) ≥ (a + b + c)²
a/A + b/B + c/C
≥ √(a + b + c)³ / √(a A² + b B² + c C²) 只須證明 √(a + b + c)³ / √(a A² + b B² + c C²) ≥ 1 即可 :

==>
(a + b + c)³ ≥ a A² + b B² + c C²==>
a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc
≥ a³ + 8abc + b³ + 8abc + c³ + 8abc==>
a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² ≥ 6abc==>
(ab² + ac² - 2abc) + (a²b + bc² - 2abc) + (a²c + b²c - 2abc) ≥ 0 ==>
a(b - c)² + b(c - a)² + c(a - b)² ≥ 0 明顯成立,

證畢!

How about this? For any λ ≥ 0, prove that

{a/√(a^2+λbc)} + {b/√(b^2+λac)} + {c/√(c^2+λab)} ≥ 3/√(1+λ)。

2012-05-30 21:34:40 補充：
令 x = 左邊的和

由 Holder 不等式：

(x^2){a^3 + b^3 + c^3 + 24abc} ≥ (a + b + c)^3

只要證明 (a + b + c)^3　≥　{a^3 + b^3 + c^3 + 24abc} 就行了。

但這等價於：

ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) ≥ 6abc

這是顯然而見的，因為 {x+(1/x)} ≥ 2 for each x > 0。

2012-05-31 04:06:46 補充：
另法：由於不等式為齊次的，不妨設 a+b+c = 1。利用 Jensen 不等式及函數 1/√x 為 convex，即得：

左邊之和 ≥ 1/√(a^3+b^3+c^3+24abc)

然 1 = (a+b+c)^3 ≥ a^3+b^3+c^3+24abc 〔與前面一樣是算幾不等式而已〕，證明結束。//

2012-05-31 21:03:07 補充：
以上兩法皆可以輕易得出 001 意見中的不等式，超出題目要求。