簡單而困難:矩形面積為何是長乘寬?.數學和哲學

當我們想要定義一個新的度量制度時，最通常的作法是：定義一單位。

ex.
定義「1度」=一周角的1/360。(白話點的說法就是將繞一圈定為360度，360等分後，每一等分的角為1度)
定義「1弳」=弧長和半徑等長的扇形的圓心角。
定義「1平方單位」=邊長1單位長的正方形面積。
定義「1立方單位」=邊長1單位長的立方體體積。
定義「1卡路里」=在北緯45度，使1克的純水從14.5度上升至15.5度的熱量。

當有了單位後，自然就可以使用新的度量單位。
當然這單位如何定義，或許有著和當時的人的文化背景、使用的方便性有關。
像邊長1單位長的正方形 ，會比邊長0.5單位長的正方形，更方便使用。而周角為何要用360度，不用100度、1000度來定義，也與歷史文化有關。

像「1公尺」的定義 ，也不斷地改變：
1.「自地球北極到赤道之通過巴黎的子午線，期間距離的千萬分之一」
2. 「法國人波達(Borda)依此1.的標準使用鉑銥合金製成一個公尺原器在以0℃時，公尺原器上兩端刻痕間的距離」
3. 「氪(86Kr)所發射橘黃色光波長的1650763.73倍」
最後因為氪(86Kr)不易取得，所以最後定義為光在真空中行進299 792 458分之1秒的距離為一標準公尺。

雖然不斷改變，但其目的都是在於使用更精準或方便的方式測量出與最早的一公尺差不多的長度，並在取得共識後，大家改以此為新的標準單位。

使用段段堆疊的方式來理解1平方單位長是符合直覺的，微積分的概念就是由此而來。
但在定義1平方單位長上會出現些問題，如線段的寬度如何定義？如何測量出1平方單位長的標準方格？


線段寬度以歐氏幾何來說是沒有長度，因此無法堆疊出面積，也就產生你說的矛盾。如果把線段寬度用無窮小量來看，則可以微積分的方式求出面積來，但這顯然不適合作為面積的基礎定義，會有循環論證的嫌疑。

2012-05-31 09:28:17 補充：
當定義「1平方單位長=1*1的正方形面積」後，n平方單位長 = n倍*(1*1正方形面積)，這就是面積的基礎定義。
實際上所有單位制都是這麼**：1. 定義基礎單位 2. 基礎單位的幾倍 就是 幾單位。

5*4的矩形 = 20倍(1*1正方形面積) = 20平方單位長
因此5*4矩形面積 = 5*4平方單位長

2012-05-31 09:40:38 補充：
「線段沒有厚度」為真，在於《幾何原本》中關於線的定義。希爾伯特所著《幾何基礎》則直接將線當成無定義名詞。
因為他們都認為定義線的厚度沒有實際的意義，不定義厚度完全不破壞他們的幾何模型的完美。線就只是個概念的存有物，不是現實的存有物。

無窮小量和無限問題的解決是在極限提出之後，中間2千多年都沒得到良好解決，很多數學家拒絕無限概念，只承認有限數學，甚至將無限歸諸上帝。
因此將數學基礎定義：極限 → 微積分 → 面積，姑且不論論證合理性，就概念的理解上就不太合理，總不能小學教微積分或高中教面積吧!?

若是出於興趣，建議可找些關於無限的書或文章來閱讀，會有助於堆疊的理解。

2012-06-02 08:59:21 補充：
通常較多人採用下面的定義：
點：物體的位置(所以沒有面積、體積)
線：點平移的軌跡；面：線平移的軌跡(所以都沒有厚度)

積分實際上也不是無限堆疊，而是用有限堆疊，再用極限夾擠原理，得到的邏輯產物。

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

你說，面積的定義是平面上線段所圍成的大小，此定義有問題。假如是你的定義，圍成的範圍(大小)內部計算面積，所圍成的線段沒有面積，此段線可以包含橢圓、歪圓。假如你說線段有面積，就要切出線段有多少面積(粗細)，如果有耐心，你可以堆出平面，就像浸濕又涼乾的紙鈔，可以收摺出體積，但是有空洞。擺在褲後袋，或許有天變成密合的體積。長度、平面、體積是三個不同的實體概念，所以數學家要花時間，審慎定義原始公理，再統合推衍而驗證，其定義正確無缺失。或許是不懂真正意義的人，但浡論，總是暗含至少一個似是而非的條件。

推薦2樓.

又, 子曰: 學而不思則罔, 思而不學則殆.

常見一些基本練習問題, 事實上教本一定有該類基本
練習的例子. 然而, 問者不去看教本, 直接來問解答.
美其名曰: 有問題就該問.

如果我去回答那種教本明明有例子的練習題, 究竟真
能助他學習? 或是只是代人解答讓他去應付繳作業(甚
或考試用)?

2012-05-31 03:22:01 補充：
如果線段有寬度的話, 請問它的寬度該是多少?

如果線段有寬度, 豈不是有限條線段就能堆積出
一個特定的長方形?

點: 沒有大小. 一個代表位置的點如何談大小?

線: 沒有寬度. 有寬度的線或線段是一個無界或有界的區域.

面: 在空間中沒有厚度. 有厚度就不是一個面了.

一個線段, 即使再怎麼短, 都不可能用有限個點來填滿.
事實上它上面的點是不可數的...也就是說一個線段上的
點不可能拿出來一一排列. 就像介於 0 與 1 (或 0 與 0.1,
或 0 與 0.01, 或 0.0001 與 0.0002) 之間的實數不能一一
拿出來排列).

2012-06-02 08:40:08 補充：
直線、半線、或一個小線段都是由無窮個點構成的, 但卻不能
說是由點 "堆積" 而成.

同樣, 一個平面是由無窮多個線構成的, 但它並不能說是由線
"堆積" 而成.

空間不是由平面 "堆積" 而成的.

"堆積" 是累加. 但線段長度不能由 "點的長度(或直徑?)" 累加.
累加只適用於有限項, 或至多放寬到可數無限項.

一定要用 "堆積" 的想法, 永遠也無法想通.

我不覺得應該用微積分證明1cm*1cm = 1cm^2
因為都還沒定義面積，怎麼會有微積分呢
所以我認為那是定義...
應該不是公理，只是定義，很直觀明瞭的定義OA O

2012-06-01 09:22:31 補充：
各位大大已經提過了，不過我再說一次好了OA O

線的寬度其實可以設為1/t，然後(t->無限)去「想像」
也就是如果要用線去堆成面積
我們可以「想像」用n條長度為1，寬度是1/n的線
去堆成一個面積是1的正方形，最後(n->無限)
就會變成無限多條線堆出面積來

好吧，上述的問題在於，還没趨近無限之前
我們原本用來堆的線是有面積的。
今天試問一條沒有面積的線是要怎麼堆出有面積的東西
即使線真的有面積，我們也無法定義他的面積大小

2012-06-01 09:31:19 補充：
數學上有一種東西叫做脈衝δ(t)
一個站在0上面，寬度是0面積是1的鬼東西
可是數學家對它的定義是運算定義
也就是符合哪些方程式的東東就是這個δ(t)
基本上避開了上述不合理的狀況OA O

我的意思是，不要再想辦法用線來定義面
有些鬼打牆的東西是沒辦法解決的OA O
不如乾脆形容，並定義面是什麼東西。

2012-06-01 09:37:07 補充：
就像物理上，力是F=ma，單位是新單位N
然後「定義」(1N的力) = 使(1kg的物體)具有(1m/s^2的加速度)的鬼東西
除此之外，其實很難定義力是什麼東西OA O
(只能「形容」力是什麼，或是描述什麼現象是力造成的)

我認為面積除了「形容」他是個沒有厚度的東西等等
不如直接「定義」(1m^2的面積) = 具有(1m長度)和(1m寬度)的鬼東西

面和線就是不同的東西，就給它們兩個定義吧OA O

孔老夫子說：「吾嘗終日不食，終夜不寢，以思，無益，不如學也」。

"那線如果沒有"寬度"..又要怎麼累積成面呢?"
也許線如果沒有"寬度"是不合時宜的說法
說成"線的寬度細微到可以忽略"
就可以解決這個問題了


2012-05-30 09:28:23 補充：
同意TimC歸於直觀定義的說法
escape如果要把面積看成線段的累積的話
這線段寬度自然不能是0 不然堆不起來
我看成1/n n趨近無限大 這樣才能堆
不過這也只是沒幫助的感覺而已
要化成面積還是要長*寬
所以目前我贊成TimC的說法

用雙重積分就好了

你的觀念就是微積分初步觀念