國中數學,數論

當 n = 1 至 6 ,
2 + 15 = 17
2² + 15 = 19
2³ + 15 = 23
2⁴+ 15 = 31
2⁵ + 15 = 47
2⁶ + 15 = 79

當 n = 7 時, 2⁷ + 15 = 143 = 11 * 13 ,故滿足條件最小的正整數 x ≤ 13 , 因 2ⁿ + 15 非 2 及 3 的倍數 , 故 x 只能是 5 , 7 , 11 , 13。

當中能表示為四個正整數的平方和只有 7 = 1² + 1² + 1² + 2²
及
13 = 1² + 2² + 2² + 2²
而
2ⁿ + 15 (mod 7)
≡ 2ⁿ + 1 (mod 7)
≡ 2ⁿ (mod 7) + 1
≡ 2¹ (mod 7) + 1 或 2²(mod 7) + 1 或 2³(mod 7) + 1
≡ 2 + 1 或 4 + 1 或 1 + 1
≡ 3 或 5 或 2
故 2ⁿ + 15 不被 7 整除 , 從而滿足 條件最小的正整數 = 13。