Infinite series (difficult)

用 Fourier Series，就代入 π 這點。

2012-05-26 06:54:29 補充：
固定 z ∈ C，對 -π ≤ x ≤ π，以 Fourier 級數展開，輕易得：

cos(zx) = {(2z)sin(πz)/π}{[1/(2z^2)] + {cos(x)/(1-z^2)} - {cos(2x)/(4-z^2)} + {cos(3x)/(9 - z^2)} - ...}。

代入 x = π，即得：

πcot(πz) = (1/z) - ∑_{n=1→∞} {2z/(n^2 - z^2)}

再代入 z = i，即得：

πcot(iπ) = (1/i) - 2i{∑_{n=1→∞} {1/(n^2 + 1)}}。

兩邊乘 i/2，整理即得：

2012-05-26 06:54:38 補充：
∑_{n=1→∞} {1/(n^2 + 1)}
= (1/2){πcoth(π) - 1}。

2012-05-26 11:07:37 補充：
知識+好像有問題，連續兩次說我違規。我發現的事實是：我不能打上知識+的任何舊問題的連結，不能指出某某問題已經有人回答過了，無故被扣了 100 點，真是好笑。

被刪去的意見是說，是不是無理數，也許全世界都不會有人知道。如果 coth(π) 是超越數，那麼 πcoth(π) 及 π + coth(π) 中至少有一個是超越數。代數數之和及積必為代數數，請參考我以前回答過的一條問題，連結不能打出來，自己去找吧，證明非常簡短漂亮。

2012-05-27 02:05:25 補充：
固定 z ∈ C，對 -π ≤ x ≤ π，以 Fourier 級數展開，輕易得：
cos(zx) = {(2z)sin(πz)/π}{[1/(2z^2)] + {cos(x)/(1-z^2)} - {cos(2x)/(4-z^2)} + {cos(3x)/(9 - z^2)} - ...}。
代入 x = π，即得：
πcot(πz) = (1/z) - ∑_{n=1→∞} {2z/(n^2 - z^2)}
再代入 z = i，即得：
πcot(iπ) = (1/i) - 2i{∑_{n=1→∞} {1/(n^2 + 1)}}。
兩邊乘 i/2，整理即得：
∑_{n=1→∞} {1/(n^2 + 1)}
= (1/2){πcoth(π) - 1}。
我有幾點要註解一下的：
〔１〕得出的實數是不是無理數，也許全世界都不會有人知道。如果 coth(π) 是超越數，那麼 πcoth(π) 及 π + coth(π) 中至少有一個是超越數。代數數之和及積必為代數數，請參考我以前回答過的一條問題，我不敢把連結打上來，香港知識+好像不喜歡引用任何網址。你自己去找吧，證明非常簡短漂亮。
〔２〕cos(zx) 的 Fourier 級數展開，只是簡單的積分問題，應該很多人都會的。如果我有空 (和/或) 你有需要，我才會在意見欄打上來。
〔３〕πcot(πz) 的公式在複分析中頗常見，普及數學名著 Proofs from the Book 還特別開了一章來討論，有興趣可參考。

有沒有辦法從partial fraction求得答案:
1/(n^2+1) = 1/(n+i)(n-i) = ...

pi coth(pi) = ??

2012-05-23 15:35:29 補充：
Thankyou , but 暈~~

The answer is [ pi coth(pi) -1] / 2.

2012-05-23 15:29:44 補充：
sinh(x)=[e^x- e^(-x)]/2
cosh(x)=[e^x+ e^(-x)]/2
coth(x)=cosh(x)/sinh(x)
coth(pi)=[e^pi + e^(-pi)]/[e^pi- e^(-pi)]