高中社會組-數學

x=1+3+3^2+...+3^29
請問"x除以1000之餘數為234"這個敘述是否正確? 請說明理由
Sol
錯
x=1+3^1+3^2+…+3^29
3x=3^2+2^2+…+3^29+3^30
2x=3^30－1
2x+1=3^30
3^1除以1000之餘數為3
3^2除以1000之餘數為9
3^4除以1000之餘數為81
3^8除以1000之餘數為561
3^16除以1000之餘數為721
3^24除以1000之餘數為481
3^28除以1000之餘數為961
3^30除以1000之餘數為649
(649－1)/2=324
81*81=6561=>561
561*561=314721+>721
721*561=404481=>481
481*81=38961=>961
961*9=8649=>649

x=1+3+3^2+...+3^29=(3^30－1)/2假設”x除以1000之餘數為234”成立，則x=1000N+234，N為某正整數，即(3^30－1)/2=1000N+234，則3^30－1=2000N+468，3^30－1=(3^10－1)( 3^20+3^10+1) [因為A^3－B^3=(A－B)(A^2+AB+B^2)] =(3^5－1)( 3^5+1) ( 3^20+3^10+1) [因為A^2－B^2=(A－B)(A+B)] =242˙244˙( 3^20+3^10+1)則242˙244˙( 3^20+3^10+1)= 2000N+468 121˙122˙( 3^20+3^10+1)= 500N+117 [兩邊同除以4]等號左邊為偶數，但等號右邊為奇數，等號不能成立，也就是”x除以1000之餘數為234”是錯的。請卓參。