Fermat's Two Square Theorem

y² + 4 = x³(y - 2i) (y + 2i) = x³Let y + 2i = (a + bi)³ = a³ + 3a²bi - 3ab² - b³i = (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³) i ,
were a , b are integers.
Comparing the coefficient of i ,3a²b - b³ = 2
b(3a² - b²) = 2
Case 1 : b = ±1
{.....................==> a = ±1
3a² - b² = 2So y = a³ - 3ab² = 2 or -2(rejected)i.e. 2² + 4 = 2³
(x , y) = (2 , 2)
Case 2 :b = ±2
{...................==> a = ±1
3a² - b² = -1So y = a³ - 3ab² = 11 or -11(rejected)i.e. 11² + 4 = 5³(x , y) = (5 , 11)
∴ y² + 4 = x³ at least has two groups of positive integral solutions.


2012-05-29 13:53:58 補充：
複數的最大公因數看不明白,不過還是謝謝Copestone賜教。
只是想於問題到期前提出一個簡單方法供參考。

謝謝樓主,據我所知這類方程已被證明了都只有有限個解,不會有無限整數解的。
以前還看過有個估計最大解上界的表達式,但現在找不到了~~

2012-06-12 17:40:29 補充：
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參考一下類似問題：

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1105052802305

2012-05-27 02:35:09 補充：
我建議你把題目改成：求所有整數解。

可惜有一題類似的被奇摩刪了〔因為題目定為：一題超難數學題〕，那兒有 70 個意見，是我在數學版回答以來，最多意見的一條題目。那題跟這題非常類似。

你題目為何叫 Fermat's two squares？不知是那來的名字？這種方程都叫做 Mordell 方程。在 Mordell 的書中，幾乎包辨了一切的初等解法。

2012-05-29 13:21:46 補充：
To 回答者： ☂雨後陽光

在 Z[i] 內作算術並利用 Z[i] 為 UFD，即可得到全部的整數解〔正整數解只是一部份，解題超出範圍要求，並無不可〕。

注意 Z[i] 有 4 個 units, 1, -1, i 及 -i。

由 (y-2i)(y+2i) = x^3 開始以後的推理過程，要改一下：

首先，令 d 為 (y-2i) 及 (y+2i) 的最大公因數〔在 Z[i] 裡〕，則存在 z in Z[i]，使得：

y+2i = d(z^3)

而由於 d|4i，所以 d 有不少的可能值。可直接一個個去檢查，或結合另一條 conjuate 公式，也許更快求出所有解來。

2012-05-29 16:32:59 補充：
不是在所有複數集合內談 G.C.D.，而是在 Z[i]。

The G.C.D. of two elements a, b in Z[i] 是 d in Z[i], 滿足：

(1) d|a and d|b
(2) If c|a and c|b, then c|d。

在 Z[i] 內，任意二元素之 G.C.D. 是存在並且是唯一的〔up to multiplication of units〕。

並非所有交換環都可以談 G.C.D. 的，例如 Z[x^2, x^3] 中，x^5 及 x^6 的 G.C.D. 並不存在。但任何 Euclidean domain 的二元素都有 G.C.D.

2012-05-29 17:24:03 補充：
形如 y^2 = x^3 + k, k ∈ Z 的方程，稱為 Mordell 方程。Mordell 於 1922 年證明了此種方程只有有限個整數解。有理數解的數目則不一定為有限的，跟 k 有關。

以下為初等方法就能解決問題的一些例子：

以同餘即能證明無整數解的例子有：k=-5, -6, 7, 45, 46。解出全部整數解的有：k=16

以 Z[√n] 內算術證明無整數解有: k=6。解出全部整數解的有 k = -1, k=-2, -4。

k = -4 時為本命題。回答者可以進一步證明，(y+2i) 一定是 Z[i] 內的立方數，也會證明了所求之解為全部解了。

2012-05-29 17:48:18 補充：
回答者假設了 (y+2i) 可被寫成 (a+bi)^3，故其結論並沒有說所求解就是所有的解。。

然而事實是, y+2i 必為立方數，所以所求之解便是所有解了。

這部份的證明不難，有空我會打上去。各位不妨先去證明。

2012-06-12 17:36:08 補充：
知識+好有問題，此文的評論連結呢？

2012-06-14 21:38:36 補充：
我是說，我已經評論了，但是並未在本網頁顯示有 (1) 評論。那讀者如何能看本題就知道有一評論存在呢？以前的功能不見了啦。

Good. How about this?
y^2 + 1 = x^3

2012-05-14 18:10:42 補充：
Sorry. Amendment: only positive integral solutions are acceptable.

(x,y)=(2,2) is an answer

2012-05-14 18:06:59 補充：
(x,y)=(1,0)