培正數學邀請賽

13)
有多少種方法把10 枚相同的棋子放進一個5×5 的棋盤的其中10 格，使得每橫行和每直行均有剛好兩枚棋子？
解 :Case 1A
首2行無重疊 , 第3行1重疊 , 第4行必2重疊 :
例 :
■■□□□ 5C2 = 10種
□□■■□ 3C2 = 3種
■□□□■ 4C1 * 1C1 = 4種
□■■□□ 4C2 = 6種
第5行隨之而定。
共 10 * 3 * 4 * 6 = 720種。
Case 1B
首2行無重疊 , 第3行2重疊 , 第4行必1重疊,1必放 :
例 :
■■□□□ 5C2 = 10種
□□■■□ 3C2 = 3種
■■□□□ 4C2 = 6種
□□■□■ 2C1 * 1C1 = 2種
第5行隨之而定。
共 10 * 3 * 6 * 2 = 360種。
Case 2A
首2行1重疊 , 第3行無重疊 , 第4行必2重疊 :
例 :
■■□□□ 5C2 = 10種
■□■□□ 2C1 * 3C1 = 6種
□□□■■ 2C2 = 1種
□■■□□ 4C2 = 6種
第5行隨之而定。
共 10 * 6 * 1 * 6 = 360種。
Case 2B
首2行1重疊 , 第3行1重疊 , 第4行必1重疊 ,1必放 :
例 :
■■□□□ 5C2 = 10種
■□■□□ 2C1 * 3C1 = 6種
□■□■□ 2C1 * 2C1 = 4種
□□■□■ 2C1 * 1C1 = 2種
第5行隨之而定。
共 10 * 6 * 4 * 2 = 480種。
Case 2C
首2行1重疊 , 第3行2重疊 ,
例 :
■■□□□ 5C2 = 10種
■□■□□ 2C1 * 3C1 = 6種
□■■□□ 2C2 = 1種
第4 、5行隨之而定。
共 10 * 6 * 1 = 60種。
Case 3
首2行2重疊 , 第3行必無重疊 , 第4行必1重疊 ,1必放 :
■■□□□ 5C2 = 10種
■■□□□ 2C2 = 1種
□□■■□ 3C2 = 3種
□□■□■ 2C1 * 1C1 = 2種
第5行隨之而定。
共 10 * 1 * 6 * 2 = 60種。綜合上述情況共 720 + 360 + 360 + 480 + 60 + 60 = 2040 種。


13) 求0至1之間所有分母是2009的最簡分數之和。

解 :2009 = 7 x 7 x 41 非最簡分數(所有分子含 7 或 41 的分數)之和= 7/2009 + 14/2009 + ... + 2009/2009
+ 41/2009 + 82/2009 + ... + 2009/2009
- (7*41 / 2009 + 574/2009 + ... + 2009/2009)= (7 + 2009) (287 / 2) / 2009
+ (41 + 2009) (49 / 2) / 2009
- (7*41 + 2009) (7 / 2) / 2009= 144 + 25 - 4 = 165故最簡分數之和 = (1 + 2009)(2009/2) / 2009 - 165 = 840。

19. 第一次 :
選問 b , c , 不失一般性 , 設得到 a < b < c 。第二次 :
選問 b , e , 不失一般性 , 設得到 b < e (因 e < b 與之本質對稱)。第三次 :
選問 d , b , 得到 a < b < d < e < f 或 d < b < e < f (a未定,需第四次) 。第四次 :
選問 a , d , 得到 d < a < b < e < f 。 第五次 :
選問 c , e , 得到 d < a < b < c < e < f 或 a < b < d < e < c (c未定,需第六次)。第六次 :
選問 c , f , 得到 a < b < d < e < c < f 或 a < b < d < e < f < c 。最後的 g 需三次必可定位 ,
例如 a < b < d < e < c < f , 選問 d , g 需最多次的情況是 :g < d , g < b , 再比 g , a。
或
d < g , c < g , 再比 g , f。
或
d < g , g < c , 再比 g , e。這個過程小敏最少要進行 9 次才可保證正確地排序。


5. 設 6 2 n = 101001 ×582002 ÷52007。已知n是整數，求n的最後三位數字。

n 不是整數。原題有誤。

2012-05-07 16:51:09 補充：
5. 設 n = 101001⁶ ×582002² ÷52007。已知n是整數，求n的最後三位數字。
(原題 6 , 2 應是次方數)

解 :

52007n = 101001⁶ × 582002²

設
n = 1000N + D , D 為 n 的最後三位數字 ,
及 101001⁶ × 582002² = 1000A + 4。

則
52007 ( 1000N + D ) = 1000A + 4
52007000 N + 52000 D + 7D = 1000A + 4
1000(52007N + 52D) + 7D = 1000A + 4

2012-05-07 16:51:16 補充：
7D - 4 = 1000(A - 52007N - 52D) ,

因 7D - 4 ≤ 7 * 999 - 4 = 6989 , 故 A - 52007N - 52D ≤ 6 ,
當 A - 52007N - 52D = 4 ,
7D - 4 = 1000(4) ,
D = 572

n 的最後三位數字是 572。

2012-05-07 17:08:16 補充：
19)

更正 :

第五次 :
......... 或 a < b < d < e < c (c未定,需第六次)。

(從上句開始 , b 和 d 應掉轉 , 之後也是。)

你行列的叫法好像跟台灣人剛好相反。還是英文統一，沒有 ambiguity。