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圖片參考：http://i1090.photobucket.com/albums/i376/Nelson_Yu/int-2293.jpg

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我剛想說怎麼可能？反例隨便舉。Tietz extension 就可以造出無窮個例子了。

2012-05-04 15:39:26 補充：
a depends on x 是一定的，不過還是不對吧，你的 x 要不要有一個範圍呢？即在 {x_1, ..., x_n} 的最大值及最小值之間？

2012-05-04 17:43:55 補充：
那些點屬於一個 compact interval [a, b] 就可以了。這題可利用 Rolle's Theorem 輕易證明，即如果 f 為可微，在 [a, b] 內最少有 n (>1) 個相異零點，則其微分 f' 在 [a, b] 內會有最少 (n-1) 相異零點。

2012-05-04 22:33:08 補充：
這題簡單，應該很多人會。無人理會再給你打上去吧。

2012-05-06 10:49:32 補充：
確切地說，定理如下：

令 f ∈ C^{n}[c, d]，P(x) 為一多項式，deg P(x) ≤ (n-1)，f(x_k) = P(x_k)，其中 x_1, ..., x_n ∈ [c, d] 為 n 個相異點。證明對任意 x ∈ [c, d]，存在 a ∈ [c, d]，使得：

f(x) - P(x) = (1/n!)f^n(a) ∏_{k=1→n} {(x-x_k} 。

2012-05-06 10:57:44 補充：
【證明】

如果 x 為 {x_1, ..., x_n} 中任何一點，命題顯然而見。

給定 x ∈ [c, d]\{x_1, ..., x_n}，為方便，在 [c, d] 上定義：

u(t) = ∏_{k=1→n} {(t-x_k}；

g(t) = f(t) - P(t) - {f(x) - P(x)}{u(t)/u(x)}。

顯然，g ∈ C^{n}[c, d]，則 g 至少有 (n+1) 個相異零點〔除了那些 x_k 外，還有 x〕。

由 Rolle 定理〔重覆用〕，得 g^n(t) 在 [a, b] 內最少有一個回零點，令 g^n(a) = 0。

2012-05-06 11:25:26 補充：
由於 deg P(t) ≤ (n-1)，微分 n 次後即得：

g^n(t) = f^n(t) - (n!){f(x) - P(x)}/u(x)。

代入 t = a 即得：

0 = f^n(a) - (n!){f(x) - P(x)}/u(x);

即 f(x) - P(x) = (1/n!)f^n(a)u(x) 為命題所求。

2012-05-06 11:38:18 補充：
更正：

010 意見中的【證】中的第二行，該為：

給定 x ∈ [c, d] - {x_1, ..., x_n}，

本來有一個 backslash 的符號的，發現知識加會令其自動消失了。

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我原先沒去看，但其實證明與回答者是一樣的。我沒必要再貼上回答區。