證明9^n-4^n-6^n+1為30的倍數

令n為>0的正整數，試證：，9^n－4^n－6^n+1為30的倍數
Sol
先證明9^n－4^n－6^n+1為5的倍數
當n=1時
9^1－4^1－6^1+1
=0
=0*5
So
n=1時為真
設n=k時為真即存在整數p，使得
9^k－4^k－6^k+1=5p
9^k=5p+4^k+6^k－1
9^(k+1)－4^(k+1)－6^(k+1)+1
=9*(5p+4^k+6^k－1)－4*4^k－6*6^k+1
=45p+5*4^k+3*6^k－8
3*6^k－8=3*(5+1)^k－8
存在整數m，使得
3*6^k-8=3*(5m+1)－8=15m－5
So
9^(k+1)－4^(k+1)－6^(k+1)+1
=45p+5*4^k+15m－5
=5(9p+4^k+3m－1)
So
n=k+1時為真

再證明9^n－4^n－6^n+1為6的倍數
當n=1時
9^1－4^1－6^1+1
=0
=0*6
So
n=1時為真
設n=k時為真即存在整數p，使得
9^k－4^k－6^k+1=6p
9^k=6p+4^k+6^k－1
9^(k+1)－4^(k+1)－6^(k+1)+1
=9*(6p+4^k+6^k－1)－4*4^k－6*6^k+1
=54p+5*4^k+3*6^k－8
5*4^k-8=5*(3+1)^k－8
存在整數m，使得
5*4^k－8=5*(3m+1)－8=15m－5
So
5*4^k－8為3的倍數
So
存在整數s，使得
5*4^k－8=6s
9^(k+1)－4^(k+1)－6^(k+1)+1
=54p+3*6^k+5*4^k－8
=54p+3*6^k+6s
So
n=k+1時為真
9^n－4^n－6^n+1為5的倍數，9^n－4^n－6^n+1為6的倍數
So
9^n－4^n－6^n+1為30的倍數

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原式改寫：

(10 - 1)^n - (5 -1)^n - (5 + 1)^n + 1 顯然為 5 之倍數。

另外 9^n - 4^n + 1 = 9^n - (3 + 1)^n + 1 顯然為偶數，又顯然為 3 之倍數，故為 6 之倍數，得原式為 6 之倍數。