關於無限大及0.9999....的迷思

(1)數學上的無限大，存在嗎?原因是?
假設無限大這個數是存在的，則表示任何一個數，都比這個無限大的數還小。
如果我把這個無限大的數加上1，則新的數會比原本的數還大，
可以我一開始假設任何一個數，都比原本的數還要小
所以我的假設顯然是錯誤的，這也表示無限大是不存在的。


至於第二個問題，你的想法是正確的。
你的問題等同於「0.99999....是否等於1」。
如果小數點後面的9有無窮多個，那麼0.999...確實等於1。
你有興趣的話，可以翻一本微積分的書，第一章就是在談論你問的問題，
章節名稱叫做「極限(Limit)」，都是討論和「無窮」有關的東西，
例如，無窮大、無窮小、無窮項...等等。

雖然老怪物大大的口氣實在是...(ry
不過他說的是對的，有些東西概念上的區別和理解很重要
一知半解或是片面混淆都會造成問題OA O...

(1) 老怪物大大的解釋是正解。
回答大也是對的，因為無限大本身無法直接套用實數的四則運算

(2) 無限大 - 無限大 << 這本身是很奇怪的東西OA O
因為剛才說了，無限大無法直接套用四則運算
會有這種說法，是高中學到「極限」(limit)的概念之後
存在一種狀況是，limit A 和 limit B 都是無限大
但是limit (A-B) 可以不是無限大，而且數值不一定，端看AB是什麼OA O

2012-04-22 20:06:16 補充：
像0.99999... = 1 的證明，問題大的證明方法，其實不太嚴謹
問題就出在後面9的數量是否一樣，還有無窮小數可不可以像這樣加減等等

極限的證法是，設一個數列a_n = 0.999...99 (n個9)
然後證明當n趨近於無限大時，a_n趨近於1，從而limit(n->無限)a_n = 1
這個東西高中「極限」的單元就會教了，嚴謹的定義在大學微積分課本
嚴格的證明微積分只說一點，好像高等微積分才有吧...(反正不會證也直接用啦XD)

2012-04-22 20:19:12 補充：
然後，無窮大真的不是不定值
的確有無窮大這個東西的，而且不能隨便說兩個無窮大一樣或不一樣
無窮大只不過不是實數而已...OA O

說個題外話，如果想要證明小數點後面的9一樣多
大概要去找集合論，不過很可能會跟康托一樣進精神病院...OA O(拖走

問題大還是先去看看高中版的「極限」吧，應該會搞懂不少東西OA O

"無窮大" 和 "無窮項" 並不能等同.

"無窮大" 本身也不是一個簡單的概念. 它是不是存在,
是一個界定的問題. 與實數相關的 "無窮大" 有兩個,
即 "正無窮"(+∞) 與 "負無窮"(-∞), 但它們不被認為是
實數. 也就是說在實數系中 "無窮大" 是不存在的.

2012-04-22 15:49:54 補充：
但 +∞ 與 -∞ 存在於所謂 "延伸實數系", 也就是由所有
實數(國中所考慮的應該就只有實數)與 +∞, -∞ 構成的
集合(還要考慮它們之間的加減乘除運算, 所以有 "數系"
之名.)

2012-04-22 15:57:46 補充：
至於 0.999..., 9.999... 之類的數, 是它們的小數部分有無窮
多項, 而不是 '無窮大". 因此, 0.9999..., 9.9999... 之類的無
窮小數存在, 與 "無窮大" 存在與否, 是兩回事.

"無窮項" 就是無窮項, 就是小數點後一直寫不完, 不是 "不
定值". "無窮大" 也不是 "不定值", 只是它們不是實數, 因此
實數的那些運算不一定適合它們.

2012-04-22 16:03:57 補充：
登高必自卑, 行遠必自邇. 很多讀到大學甚至研究所的還搞
不清楚 "無窮大", "無窮小數" 及 "無窮級數", 以及 "極限"
等概念. 而理論上他們已完成國高中數學課程, 猶不能理解
這些概念. 一個國三生, 沒有把了解上述概念所需的基礎建
立好, 卻強自要去對那些概念做解釋, 不是囫圇吞棗就是解
釋錯誤, 反而誤了往後學習. 竊以為這並非好事. 真有興趣
提早了解, 就去找些參考書(不是那種以考試為目的的題目
祉所謂的圖解書, 而是針對某些主題做介紹解釋的課外書,
或科普書.) 這才是正圖.