f5 maths 問題(e)

1 e = lim(n -> ∞) (1 + 1/n)^n = 2.718281828....

2 用反証法。假定e = a/b

考慮 b! * e

= (b! + b!/1! + b!/2! + ... + b!/b!) + (b!/(b + 1)! + b!/(b + 2)! + ,,,)

第一個括號內是正數﹐而第二個括號內的值

= 1/(b + 1) + 1/(b + 1)(b + 2) + ...

< 1/2 + 1/2^2 + ...

= 1

但按假定b! * e = a(b - 1)! 是一個正整數﹐由此得出矛盾。

故e是無理數。

e的定義是lim(x→infinity)(1+1.x)^x

x^(log y / log x)=y
e^[(log y/log x) In x]=y
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(log y/log x)*log x=(log y/log x)*In x*log e
log x/In x = log e
1/In x*logx=log e
e= x^(1/In x)//
x可以為任何數。
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1.e趨向咩數值?:e本身係一個constant，沒有趨向什麼。
2.irrational no.即不能寫成分數。
e=x^(1/In x)明顯不能寫成分數，反而log e是有理數(log x/In x)。