若a=(i=1~100)∑ i^5 , 則a除以4的餘數為何

若a=Σ(i=1 to 100)_ i^5，則a除以4的餘數為何?
Sol
a=Σ(i=1 to 100)_ i^5
=Σ(k=0to 24)_ (4k+1)^5+Σ(k=0to 24)_ (4k+2)^5
+Σ(k=0 to 24)_ (4k+3)^5+Σ(k=0 to 24)_ (4k+4)^5
=>
=Σ(k=0to 24)_ 1^5+Σ(k=0 to24)_ 2^5
+Σ(k=0 to 24)_ 3^5+Σ(k=0 to 24)_ 4^5
=Σ(k=0to 24)_ 1+Σ(k=0 to24)_ 32+Σ(k=0 to24)_ 243+Σ(k=0 to24)_ 1024
=Σ(k=0to 24)_ 1300
=25*1300
=>
0
餘數為0

分成奇偶數來看即可

i 為偶數,令 i=2n,所以
∑ i^5 =∑ (2n)^5 =∑ 32n^5
所以均可被4整除

i為奇數,則只有兩種形 即為 4n +1 和 4m-1兩種 (因為4n'-3和4n +1是同意,4m'+3和4m -1是同義!!)

所以奇數部份可分成

4n+1的有 1, 5, 9, 13,................
4m-1的有 3, 7, 11,15..................
我們剛好可以,以
(4n+1)^5 +(4m-1)^5配成一組,共可配成 28組 (就是 (99-1)/4 +1=28組)

又
(4n+1)^5 +(4m-1)^5=4k +1 +4h -1=4k +4h
是4的倍數
[4k為(4n+1)^5展開後,除最後一項次 +1 外的其它項次;4h為(4m+1)^5展開後,除最後一項次 - 1 外的其它項次]

所以,若a=(i=1~100)∑ i^5 , 則a除以4的餘數為 0

2012-04-04 21:11:22 補充：
4h為(4m+1)^5展開後,除最後一項次 - 1 外的其它項次

修正

4h為(4m-1)^5展開後,除最後一項次 - 1 外的其它項次

若a=(i=1~100)∑ i^5 , 則a除以4的餘數為0.