S4 Trigonometry

4.
答案是： C. 1/√(k²- 1)


90° < θ < 180°﹐θ 在第二象限。
0° < (θ - 90°) < 90°﹐(θ - 90°) 在第一象限。

在第一象限及第二象限，正弦函數 (sin) 均為正值。
故此，sin(90° - θ) = sinθ =1/k (k > 0)

(θ - 90°) 在第一象限，故此 sin(θ - 90°)、cos(θ -90°) 及tan(θ - 90°) 均為正值。

cos(θ - 90°)
= √[1 - sin²(θ - 90°)]
= √[1 - (1/k)²]
= √[(k² - 1)/k²]
= [√(k² - 1)]/k

tan(θ -90°)
= sin(θ -90°)/cos(θ - 90°)
= (1/k)/{[√(k² - 1)]/k}
= 1/√(k² - 1)

sin x = 1/k , 90 < x < 180 .

設直角三角形ABC, 其中 角B = 90度, 角C = x .
從 sin x = 1/k ,
令 AB = 1, AC = k .

AB^2 + BC^2 = AC^2 (畢氏定理)
(1)^2 + BC^2 = k^2
BC = [ k^2 - 1 ]^(1/2)

tan x = AB/BC = 1 / [ ( k^2 - 1 )^(1/2) ]

由於 90 < x < 180,
即是 90 - 90 < x - 90 < 180 - 90
即是 0 < x - 90 < 90 , 第 I 象限.
因此 tan( x - 90 ) 為正.

所以 tan( x - 90 ) = 1 / [ ( k^2 - 1 )^(1/2) ]
答案是C.