S4 polynomial

a)
Remainder = f(1) = a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0

b)
Remainder = f(-1) = - a5 + a4 - a3 + a2 - a1 + a0

c)
Let a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 9k , (k is an integer)

f(10)
= 100000 a5 + 10000 a4 + 1000 a3 + 100 a2 + 10 a1 + a0
= 99999 a5 + 9999 a4 + 999 a3 + 99 a2 + 9 a1
+ (a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0)
= 9 (11111 a5 + 1111 a4 + 111 a3 + 11 a2 + a1 + k) is divisible by 9.

d)
Let a5 - a4 + a3 - a2 + a1 - a0 = 11k , (k is an integer)

f(10)
= 100000 a5 + 10000 a4 + 1000 a3 + 100 a2 + 10 a1 + a0
= 100001 a5 + 9999 a4 + 1001 a3 + 99 a2 + 11 a1
- (a5 - a4 + a3 - a2 + a1 - a0)
= 11 (9091 a5 + 909 a4 + 91 a3 + 11 a2 - k) is divisible by 11.

e)
a5 = 5 , a4 = 3 , a3 = 8 , a2 = 4 , a1 = 6 , a0 = 1


f)

By e) ,
a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 5 + 3 + 8 + 4 + 6 + 1 = 27 is divisible by 9.

By c) ,
f(10) = 538461 is divisible by 9.

and

a5 - a4 + a3 - a2 + a1 - a0 = 5 - 3 + 8 - 4 + 6 - 1 = 11 is divisible by 11.

By d) ,
f(10) = 538461 is divisible by 11.


g)

819 722 486 484

= 819 722 * 1000000 + 486 484

= 819 722 * (999999+1) + 486 484

= 819 722 * 999999 + 819 722 + 486 484

= 819 722 * 999999
+ 99999 * 8 + 9999 * 1 + 999 * 9 + 99 * 7 + 9 * 2 + (8 + 1 + 9 + 7 + 2 + 2)
+ 99999 * 4 + 9999 * 8 + 999 * 6 + 99 * 4 + 9 * 8 + (4 + 8 + 6 + 4 + 8 + 4)

= 819 722 * 999999
+ 99999 * 8 + 9999 * 1 + 999 * 9 + 99 * 7 + 9 * 2
+ 99999 * 4 + 9999 * 8 + 999 * 6 + 99 * 4 + 9 * 8
+ 63

= 9 [819 722 * 111111
+ 11111 * 8 + 1111 * 1 + 111 * 9 + 11 * 7 + 1 * 2
+ 11111 * 4 + 1111 * 8 + 111 * 6 + 11 * 4 + 1 * 8
+ 7] is divisible by 9.


819 722 486 484

= 819 722 * 999999 + 819 722 + 486 484

= 11 (819 722 * 90909) + 819 722 + 486 484

= 11 (819 722 * 90909)
+ 100001 * 8 + 9999 * 1 + 1001 * 9 + 99 * 7 + 11 * 2 - (8 - 1 + 9 - 7 + 2 - 2)
+ 100001 * 4 + 9999 * 8 + 1001 * 6 + 99 * 4 + 11 * 8 - (4 - 8 + 6 - 4 + 8 - 4)

= 11 (819 722 * 90909)
+ 100001 * 8 + 9999 * 1 + 1001 * 9 + 99 * 7 + 11 * 2
+ 100001 * 4 + 9999 * 8 + 1001 * 6 + 99 * 4 + 11 * 8
- 11

= 11 [ (819 722 * 90909)
+ 9091 * 8 + 909 * 1 + 91 * 9 + 9 * 7 + 1 * 2
+ 9091 * 4 + 909 * 8 + 91 * 6 + 9 * 4 + 1 * 8
- 1 ] is divisible by 11.