排列與組合 數 學 高 手 (列式)

把3 名女生和4 名的男生掛排成一行.在下列情況中,共有多少不同的排列?
1.女生不可相鄰而站
2.男生不可相鄰而站

1.
首先把男生 (M) 排列成 _M_M_M_M_ [P(4,4)]。
然後把 3 名女生排在 _ 中的其中 3 個位置 [P(5,3)]。

不同排列的數目
= P(4,4) * P(5,3) 種
= 4! * (5!/2!) 種
= 1440 種

2.
首先把女生 (F) 排列成 _F_F_F_ [P(3,3)]。
然後把 4 名男生排在 4 個 _ 位置上 [P(4,4)]。

不同排列的數目
= P(3.3) * P(4,4) 種
= 3! * 4! 種
= 144 種


*****
黃氏共有4名成員.若4 名家庭成員與另外4名朋友排成ー行拍照.求下列各情況排列方法
a排列方法沒有任何限制
b所有黃氏成員站在ー端
c黃氏家庭成員相鄰而站
d黃氏家庭成員不可相鄰而站

a.
8 人無任何限制排成一行。

排列方法的數目
= P(8,8) 種
= 8! 種
= 40320 種

b.
4 名黃氏成員成一組，4 名朋友成一組，考慮 2 組的排列 [P(2,2)]。
然後考慮 4 名黃氏成員的內部排列 [P(4,4)]，以及4 名朋友的內部排列 [P(4,4)]

排列方法的數目
= P(2,2) * P(4,4) * P(4,4) 種
= 2! * 4! * 4! 種
= 1152 種

c.
把 4 名黃氏成員形成一組，與 4 名排友排列 [P(5,5)]。
然後考慮 4 名黃氏成員的內部排列 [P(4,4)]。

排列方法的數目
= P(5,5) * P(4,4) 種
= 5! * 4! 種
= 2880 種

d.
4 名朋友 (X) 排成一行 _X_X_X_X_ [P(4,4)]。
4 名黃氏成員排在 5 個 _ 的其中 4 個 [P(5,4)]。

排列方法的數目
= P(4,4) * P(5,4) 種
= 4! * (5!/1!) 種
= 2880 種


*****
現有五個不同的數字:0,3,6,8,9
a利用這五個數字組成四位數,而且數字不能重複,問可組成多少個四位數?
b在a中的四位數,有多少個是偶數?

a.
千位數不可是 0，把其餘 4 個數字其中一個放在萬位 [P(4,1)]。
把千位數以外 4 個數字，分別排在百位、十位和個位 [P(4,3)]。

四位數的數目
= P(4,1) * P(4,3) 個
= (4!/3!) * (4!/1!) 個
= 96 個

b.
• 若千位數是 3 或 9 [P(2,1)]，則個位數是 0、6 或 8 [P(3,1)，而百位數和十位數則是餘下 3 個數字中其中 2 個 [P(3,2)]。
• 若千位數是 6 或 8 [P(2,1)]，則個位數是 0、6、8 餘下來 2 個數字的其中一個 [P(2,1)，而百位數和十位數則是餘下 3 個數字中其中 2 個 [P(3,2)]。

四位數的數目
= P(2,1) * P(3,1) * P(3,2) + P(2,1) * P(2,1) * P(3,2)個
= (2!/1!) * (3!/2!) * (3!/1!) + (2!/1!) * (2!/1!) * (3!/1!) 個
= 36 + 24 個
= 60 個