國中總複習數學題目 答案似有問題

題目:設Q 、R皆為多項式，若(x^2－5x+7)/(x－1)=Q+R/(x－1)，則Q－R=?
答案為x－7
但我除了算出x－7 還算出2x－7
所以答案不只一個吧
Sol
(x^2－5x+7)/(x－1)=Q+R/(x－1)
x^2－5x+7=Q(x－1)+R
設Q(x)=ax+b
x^2－5x+7=(ax+b)(x－1)+R
R(x)=x^2－5x+7－(ax+b)(x－1)
=x^2－5x+7－(ax^2－ax+bx－b)
=(1－a)x^2+(b－a－5)x+(b+7)
題目有問題答案無限多組

"本題沒有說視R為餘數,因此R可以有x項",
那麼, 這條題目真的是有問題了, 我可以說:
R = x² -5x +7, Q = 0, 所以
Q - R = x² +5 -7

根據題意, 可以理解為 :
將 (x² - 5x + 7) 除以 (x - 1), 商數是 Q, 餘數是 R, 求 Q - R ?

因為 (x² - 5x + 7) 除以 (x - 1), 商數是 (x - 4), 餘數是 3, 所以,
Q - R
= (x - 4) - 3
= x - 7

(ps. 餘數不可能有 x 項, 所以 R 冇可能是 (-x + 4).)

答案只有一個( X - 7 )
原式(x²-5x+7)=(x-1) Q +R,
(x²-5x+7)=(x-1)(X-4)+3, 只有Q=X-4 R=3唯一組解