這兩句有什么不同

"stay" is intransitive verb. 不及物動詞

1. I stay home on weekends. ("home" is adverb = to or at the place where you live)

2. I stay at home on weekends. ("home" is noun = the house or flat that you live in; "at home" is adverb phrase, or prepositional phrase acting as adverb)

以上兩句，文法上來說，只是副詞(1)和副詞短語(2)的分別。
意思方面，兩句完全一樣。

詞法上而言

stay是「留在」一個地方範圍或狀態
stay at是「固定在」一個位置=意思上要比stay這狀態的範圍更縮小

如果你話字典同時用這兩作例子便不太好了

stay home意思是在家
stay at home意思是留守在家(不離開)
所以一般不會說stay at home one weekends的，因為表示你一步也不會出街。而stay home只是表達我不會去別的地方過夜/宿營那種「在家」。
除非在留守在家附上額外的作用-例如很獨特的情況
I stayed at home to study for exam last weekend.
就寫stay at好過stay了，以表示留在家情況的重要性。