數學知識交流---同餘方程

1)2³ ≡ 1 (mod 7)∴ 2²²³¹ ≡ (2³)⁷⁴³ x 2² ≡ 2² ≡ 4 (mod 7)
2)因 9 與 質數 503 互質 , 由費馬小定理 ,
9⁵º² - 1 ≡ 0 (mod 503)
又 9⁵º² - 1 ≡ 0 (mod 9-1 = 8)
故 9⁵º² - 1 ≡ 0 (mod 503 * 4 = 2012)
(9²⁵¹ - 1) (9²⁵¹ + 1) ≡ 0 (mod 2012)因 3 與 質數 503 互質 , 由費馬小定理知
9²⁵¹ - 1 ≡ 3⁵º² - 1 ≡ 0 (mod 503)
又 9²⁵¹ - 1 ≡ 0 (mod 8)
故 9²⁵¹ ≡ 1 (mod 2012)
∴ 9¹²³²³
≡ (9²⁵¹) ⁴⁹ x 9²⁴
≡ 9²⁴
≡ (3¹⁶)³
≡ 43046721³
≡ (2012 x 21395 - 19)³
≡ - 19³
≡ - 6859
≡ - 6859 + 2012 x 4
≡ 1189 (mod 2012)
3)以 ±1 , ± 2 , ± 3 代入檢驗 :發現 2³¹¹ ≡ (2³)¹º³ x 2² ≡ (7+1)¹º³ x 2² ≡ 4 (mod 7) ∴ x ≡ 2 (mod 7)
4)以 ±1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 7 , ± 8 代入檢驗 :發現 (-6)⁹ + 3(-6) ≡ - 10077714 ≡ - 592807 x 17 + 5 ≡ 5 (mod 17)∴ x ≡ - 6 ≡ 11 (mod 17)