F.5MATHS

某等比數列的第5項是開方2 :
ar⁴= √2 ...... (*)
首9項之積
= a * ar * ar² * ar³ * ar⁴* ar⁵ * ar⁶ * ar⁷ * ar⁸
= a⁹ r³⁶

第9項 = ar⁸
∴
a⁹ r³⁶ = ar⁸
a⁸ r³² = r⁴
(ar⁴)⁸ = r⁴, 由(*) :
(√2)⁸ = r⁴
16 = r⁴
r = ±2 或 , 由(*) :
a(±2)⁴= √2
a = √2 / 16

首9項之和
= a (1 - r⁹) / (1 - r)
= (√2 /16)(1 - 2⁹) / (1 - 2)
= 511√2 /16

或
= (√2 /16)(1 - (-2)⁹) / (1 - (-2))
= 171√2 /16

等比數列的第5項是√2。
設等比數列的公比是r。
則此等比數列的首9項是:
√2r^(-4), √2r(-3), √2r^(-2),√2r^(-1), √2, √2r, √2r^2, √2r^3, √2r^4

首9項之積是:
[√2r^(-4)][√2r(-3)][√2r^(-2)][√2r^(-1)][√2][√2r][√2r^2][√2r^3][√2r^4]
=(√2)^9

(√2)^9=√2r^4
r^4=2^4
r=2 或 r=-2

2012-03-17 16:47:34 補充：
該數列首9項之和是:
[√2r^(-4)](r^9-1)/(r-1)

(i) 若r=2
[√2r^(-4)](r^9-1)/(r-1)
=√2[2^(-4)](2^9-1)/(2-1)
=511√2/16

(ii) 若r=-2
[√2r^(-4)](r^9-1)/(r-1)
=√2[(-2)^(-4)][(-2)^9-1]/(-2-1)
=171√2/16