求數學高手幫幫忙,緊急需要, 謝謝!!

第1題f(x)=ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+(4ac−b^2)/4a，對稱軸為x+b/2a=0，若a>0，則當x=−b/2a時有最小值為(4ac−b^2)/4a；若a<0，則當x=−b/2a時有最大值為(4ac−b^2)/4a。由題意， 因為有最小值，因此a>0 且(4ac−b^2)/4a=−4，因為對稱軸為x+1=0，b/2a=1，則b=2a，因為在 x軸上截得線段長為4，所以f(x)=0的兩根為−3及1 [−1±(4/2)]，則f(x)=a(x+3)(x−1)= ax^2+2ax−3a，因此c=−3a，將b=2a及c=−3a代入(4ac−b^2)/4a=−4，得a=1。所以f(x)= x^2+2x−3。 第2題解集是{x| 2<4}< span="">，則不等式為a(x−4) (x−2)<0，其中a>0，<4}<>也相當於b(x−4) (x−2)>0，其中b<0，b(x−4)(x−2)= bx^2−6bx+8b，與(x^2/p)+qx+p比較係數可得1/p=b，p=8b，q=−6b=(−3/4)p，由1/p=b及p=8b可得p^2=8，則p=±2√2，其中2√2不合(因為p要為負)，則q= (−3/4)p=3√2/2，所以p=−2√2，q=3√2/2。 第3題假設直線L的方程式為y=ax+b，則直線L與x軸交點為(−b/a, 0)，與y軸交點為數0,b)，因為直線L與圓x^2+y^2=1在第一象限相切，則斜率為負，即a<0。直線L夾在兩坐標軸之間的線段長度為4√3/3，因此√[(b^2/a^2)+ b^2]= 4√3/3----------(1)，假設直線L與圓的相切點為(c,d)，則原點與切點的連線的方程式為y=(d/c)x，且c^2+d^2=1-------(2)，因為原點與切點的連線會垂直於L，因此兩線斜率的積為−1， 即(d/c)=(−1/a)，可得d=−c/a----------(3)，(c,d)亦在直線L上，因此d=ac+b，代入a=−c/d得d=(−c^2/d)+b-------(4)，再由式(2)得c^2=1−d^2，代入式(4)可得
d=1/b-------(5)(3)(5)得c=−a/b-------(6)式(5)(6)的c及d代入(1)可得b^2=a^2+1 -------(7)將式(7)代入式(1)可得
√{[a^2+1+a^2(a^2+1)]/a^2}=√ [(a^4+2a^2+1)/ a^2]= √[(a^2+1)^2/a^2]=4√3/3因為a<0，√[(a^2+1)^2/a^2]=(a^2+1)/(−a)，則
3∙a^2+4√3∙a+3=0 因此a=−√3或−√3/3，當a=−√3時代入式(1)，可求得b=2，則直線L方程式為y=(−√3)x+2；當a=−√3/3時代入式(1)，可求得b=2√3/3，則直線L方程式為y=(−√3/3)x+2√3/3；所以直線L的方程式為y=(−√3)x+2或y=(−√3/3)x+2√3/3。請卓參

1.設二次函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像的對稱軸是x+1=0，圖像最低點的縱坐標
是－4，且在 x軸上截得線段長為4，則f(x)的運算式為
Sol
f(x)=a(x+1)^2－4=ax^2+2ax+a－4
f(x)兩根p，q
p+q=－2，pq=(a－4)/a
(p－q)^2=(p+q)^2－4pq
4^2=4－4*(a－4)/a
16a=4a－4a+16
a=1
f(x)=x^2+2x－3

2.若不等式(x^2/p)+qx+p>0的解集是{x| 2<x<4}，求實數p與q的值．
Sol
2<x<4
(x－2)(x－4)<0
x^2－6x+8<0
x^2/(－√8)+6x√8－8/√8>0
x^2/(－√8)+(3√2/2)x－√8>0
p=－√8，q=3√2/2

3.已知直線l和圓方程:x^2+y^2=1在第一象限相切，並且該直線夾在兩坐標
軸之間的線段AB的長度為4√3/3，求直線l的方程
Sol
設直線l：x+ay=b，a>0，b>0
交x軸於 (b，0)
交y軸於 (0，b/a)
b^2+b^2/a^2=16/3
(0，0)到x+ay=b距離=1
1=｜0+a*0－b｜/√(1+a^2)
1+a^2=b^2
b^2+b^2/a^2=16/3
b^2(1+1/a^2)=16/3
(1+a^2)(1+1/a^2)=16/3
(1+a^2)(a^2+1)=16a^2/3
a^4+2a^2+1=16a^2/3
3a^4+6a^2+3=16a^2
3a^4－10a^2+3=0
(3a^2－1)(a^2－3)=0
a^2=1/3 or a^2=3
Since a>0
a=√3/3or a=√3
(1) a=√3/3
b^2=1+1/3=4/3
b=2√3/3
直線l：x+√3y/3=2√3/3
(2) a=√3
b^2=1+3=4
b=2
直線l：x+√3y=2

1.
二次函數f(x)=ax^2+bx+c 的對稱軸是x+1=0，圖像最低點的縱坐標是-4

所以a>0 a-b+c=-4......式1

x軸上截得線段長為4

所以過(1,0)(-3,0) 那麼ax^2+bx+c=0的解同a(x-1)(x+3)=0

所以a(x-1)(x+3)=ax^2+2ax-3a=ax^2+bx+c

b=2a c=-3a帶回式1

a-2a-3a=-4

a=1 b=2 c=-3

f(x)=x^2+2x-3......ans

2.
不等式解集合是{x| 2<x<4}

反推得(x-2)(x-4)<0 x^2-6x+8<0......式1

(x^2/p)+qx+p>0

(1/p)(x^2+pqx+p^2)>0......式2

比對式1式2

得知(1/p)<0使不等式改變大小方向

pq=6 p^2=8

p=正負2*(根號2) ,正不合

q=[3*(根號2)]/2

p=-2*(根號2) q=[3*(根號2)]/2......ans

3.
令所求直線l的x截距=a y截距=b a,b皆>0

則a^2+b^2=[4(根號3)/3]^2=16/3......式1

直線l:y=(-b/a)x+b和圓:x^2+y^2=1相切 代入

所以x^2+[(-b/a)x+b]^2-1=[(a^2+b^2)/a^2]x^2-[(2*b^2)/a]x+(b^2-1)=0有重根

D=[(4*b^4)/a^2]-4*[(a^2+b^2)/a^2](b^2-1)=0

b^4-(a^2)(b^2)-b^4+a^2+b^2=0

-(a^2)(b^2)+16/3=0 ab=4*(根號3)/3 b=4*(根號3)/(3a)代回式1

a^2+b^2=a^2+16/(3a^2)=16/3

3(a^4)-16(a^2)+16=0

(a^2-4)(3*a^2-4)=0

a=2或2*(根號3)/3

所以直線l:y=(-b/a)x+b=[-(根號3)/3]x+2*(根號3)/3

或直線l:y=(-b/a)x+b=-(根號3)x+2

直線l:y=[-(根號3)/3]x+2*(根號3)/3 或 直線l:y=-(根號3)x+2......ans






















2012-03-21 10:08:02 補充：
更正:
2.
pq=-6 p^2=8