求教直线和圓的方程

直線x - 2y + 4 = 0和圓 x² + y² - 6x - 2y + k = 0相切，k是–個常數，求k的值。

直線 :
x - 2y + 4 = 0
x = 2y - 4 ...... [1]

把 [1] 代入圓方程中 :
(2y - 4)² + y² - 6(2y- 4) - 2y + k = 0
4y² -16y + 16 + y² - 12y + 24 - 2y + k = 0
5y² - 30y + (40 + k) = 0

由於直線與圓相切，只有一交點，故判別式 Δ =0
(-30)² - 4(5)(40 + k) = 0
900 - 800 - 20k = 0
20k = 100
k = 5


=====
圓 x² + y² = 5的兩條切線的斜率都是1/2 求該兩條切線的方程。

設切線的方程為 y = (1/2)x + c

把 y = (1/2)x + c 代入圓方程中 :

x² + [(1/2)x + c]² = 5
x² + (1/4)x² + cx + c² = 5
4x² + x² + 4cx+ 4c² = 20
5x² + 4cx + (4c² - 20) = 0

由於是切線，只有一交點，故判別式 Δ =0
(4c)² - 4(5)(4c² - 20) = 0
16c² - 80c² +400 = 0
64c² = 400
c² =25/4
c = 5/2 或 c = -5/2

切線的方程：
y = (1/2)x ± (5/2)
2y = x ± 5
x - 2y ± 5 = 0

故此，切線的方程為 x - 2y + 5 = 0 及 x - 2y - 5 = 0

圓心坐標為O(0,0)
設直線L與兩切線垂直且經過圓心O.
L的斜率是-2.
L的方程為y-0=-2(x-0)
y=-2x . . . . . . . . (1)
x^2+y^2=5 . . . . . (2)
以(1)代入(2)得:
x^2+(-2x)^2=5
x^2=1
x=1 或 -1
y=-2 或 2
該兩條切線的方程為:
y-2=(1/2)(x+1) 和 y+2=(1/2)(x-1)
x-2y+5=0 和 x-2y-5=0