beta(alpha,beta)考古題

老怪物，老實說，兩者都是只需要利用http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Functions_of_random_variables的公式慢慢推導而已。

2012-03-14 10:45:57 補充：

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahooknowledge/probabilitydistribution/betadistribution9.jpg

參考資料：
formula from http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution + http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_prime_distribution + http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Functions_of_random_variables> + my maths knowledge

2012-03-14 11:33:36 補充：
X~(type2beta)，X+1~？
X~(type1beta)，1/X~？

2012-03-14 11:45:41 補充：
用http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Functions_of_random_variables的時候該如何處理敏感位置的定義域？

2012-03-14 18:53:09 補充：
我終於知道自己錯了甚麼。

原來Case 2直接用http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Functions_of_random_variables去計算1/(X+1)的分佈是會出現問題，因此要稍為婉轉一點，先考慮X/(X+1)的分佈，再考慮1/(X+1)的分佈。

有時候機率分佈這類玩意就是這樣的吊跪。

若 X 服從的是第一型 beta 分布 (在 [0,1] 上之分布), E[1/(1+X)] 是否
能算出精確結果我不知.

若這裡 X 服從的是第二型 beta 分布 (在 [0,∞) 上的分布), 只要知道
此分布的 p.d.f., E[1/(1+X)] 的計算是簡單到不能再簡單了.

2012-03-14 11:01:18 補充：
若 X~(tyep2beta), 其 p.d.f. 為
f(x) = [1/B(α,β)]x^{α-1)/(1+x)^{α+β}
故得
E[1/(1+X)] = B(α,β+1)/B(α,β) = β/(α+β).

2012-03-14 11:03:01 補充：
X 服從 type 2 beta, 則 X/(1+X) 服從 type 1 beta.
反之, X 服從 type 1 beta, 則 X/(1-X) 服從 type 2 beta.

2012-03-14 15:06:10 補充：
Type 1 beta distr. 的 p.d.f. 是 f(x) = [1/B(a,b)]x^{a-1}(1-x)^{b-1},
x 的有效範圍是 0<1;
Type 2 beta distr. 的 p.d.f.如前述, 其有效範圍是 0







2012-03-14 15:11:25 補充：
Type 1 beta distr. 的 p.d.f. 是 f(x) = [1/B(a,b)]x^{a-1}(1-x)^{b-1},
x 的有效範圍是 (0,1);
Type 2 beta distr. 的 p.d.f.如前述, 其有效範圍是 (0,∞).

x in (0,1) iff. x/(1-x) in (0,∞);
反之, x in (0,∞) iff. x/(1+x) in (0,1).
有什麼 "敏感位置" 問題?

2012-03-14 22:09:09 補充：
若 X 服從第一型 beta(a,b), 算 1/(1+X) 的分布也不會有問題,
只是其分布並不是熟悉的分布.
X～beta(a,b), Y=1/(1+X), 則 Y 之有效值域為 [1/2,1], 其 p.d.f.
h(y) = (1/y^2)(1/y-1)^{a-1}(2-1/y)^{b-1}.

2012-03-14 22:11:42 補充：
漏了常數...

h(y) = [1/B(a,b)](1/y^2)(1/y-1)^{a-1}(2-1/y)^{b-1}.

就一般的 a, b 而言, E[Y] = E[1/(1+X)] 並不會因此比較好算.

2012-03-17 12:48:26 補充：
X 服從 type 2 beta, 參數 (α,β),
則 X/(1+X) 服從 type 1 beta, 參數 (α,β),
而 1/(1+X) 也服從 type 1 beta, 參數 (β,α),
所以有前面說的 E[1/(1+X)] = β/(α+β) 結果.