空間向量內積與方程式

1.直角三角形ABC的三邊長為3，4，5，內部一點P到三邊之距離為x：y：z
，求x^2+y^2+z^2的最小值?
Sol
原題當x->0時x^2+y^2+z^2的最小值->0
題目改為
直角三角形ABC的三邊長為3，4，5，內部一點P到三邊之距離為x，y，z
，求x^2+y^2+z^2的最小值?
3*4/2=(3x/2)+(4y/2)+(5z/2)
3x+4y+5z=12
(x^2+y^2+z^2)*(3^2+4^2+5^2)>=(3x+4y+5z)^2
(x^2+y^2+z^2)*50>=144
x^2+y^2+z^2>=72/25

2.若A為5x－2y－2z=3平面上的一點，又點P(3，1，－2)為平面外一點，
求當AP=最小值時，A點坐標為?
Sol
[(x－3)^2+(y－1)^2+(z+2)^2]*[5^2+(－2)^2+(－2)^2]>=
[5(x－3)－2(y－1)－2(z+2)]^2
[(x－3)^2+(y－1)^2+(z+2)^2]*33>=(5x－2y－2z－17)^2
[(x－3)^2+(y－1)^2+(z+2)^2]*33>=(3－17)^2
(x－3)/5=(y－1)/－2=(z+2)/－2=t
x=5t+3，y=－2t+1，z=－2t－2
5(5t+3)－2(－2t+1)－2(－2t－2)=3
33t+17=3
t=－14/33
x=29/33，y=61/33，z=－38/33
A(29/33，61/33，－38/33)

1.直角三角形ABC的三邊長為c=3,b=4,a=5，A=90deg,內部一點P到三邊之距離為x.y.z，求w=x^2+y^2+z^2的最小值?最小值的位置=內切圓圓心=半徑r則area=0.5*r*(a+b+c)=0.5*b*c得到 r=b*c/(a+b+c)=3*4/(3+4+5)=1So w=1+1+1=3=Min.證明: 取x=y=0, 即落入A點, 可以使w=min,但是z=3*cos37DEG=3*4/5=12/5 => w=z^2=144/25=5.76>3取y=z=0, 即落入B點, 則x=3=3r=3=min同理: x=z=0, 即落入C, 則y=4>3所以P=B or 內切圓圓心, w=min2.若A為5x-2y-2z=3........(1)平面上的一點，又點P(3.1.-2)為平面外一點，求當AP=最小值時，A點坐標為? 平面法線: N=5*i-2*j-2*kThen line passes point P & ⊥ plane:(x-3)/5=(y-1)/-2=(z+2)/-2=u (Find u=? for min. distance)Thus x=5u+3, y=-2u+1, z=-2u-2........(2)(2) into (1): 5(5u+3)-2(-2u+1)+2(2u+2)=3 => u=-14/33(2): x=-4/33, y=5/33, z=-94/33So A=(-4,5,-94)/33