一題雙重積分問題請幫解答

(**)重積分與積分次序無關，因為面積之邊長(dx dy)
無次序，
但逐次積分和次序有關，因為積分範圍不對稱。
請參考下圖，看看有沒有幫助:


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/161203100942513872927370.jpg



圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/161203100942513872927381.jpg




圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC06918685/o/161203100942513872927382.jpg



2012-03-11 18:23:15 補充：
我剛看了一下，我dy範圍是下極限(3-x)開根號，上極限是x-1
dx範圍是下極限-1，上極限2的圖應該是第三張才對吧?
為什麼加個負號才是第三張的圖?
ANS:
基本觀念:
(*) 開方有正負，2之平方根為+根號2與-根號2。

舉一例:單位圓之方程式為:X^2+Y^2=1。
上半圓之函數為: Y=根號(1-X^2)
下半圓之函數為: Y=-根號(1-X^2)
圓之面積
=積分{-1到1}積分{-根號(1-X^2)到根號(1-X^2)}dYdX

2012-03-11 18:33:49 補充：
也可以:
左半圓之函數為: X=根號(1-Y^2)
右半圓之函數為: X=-根號(1-Y^2)
圓之面積
=積分{-1到1}積分{-根號(1-Y^2)到根號(1-Y^2)}dXdY

同理:
拋物線 之隱函數為方程式 X+Y^2-3=0
可看成X為Y之函數:X=3-Y^2 (此時因無須開方，一個式子就可以}
也可看成Y為X之函數，此時有上下兩部分:
上部分之函數為:Y=根號(1-X^2)，
上部分之函數為:Y=-根號(1-X^2)。

2012-03-11 18:43:26 補充：
請注意我的圖(1)表示拋物線上半部及其函數:根號(3-X^2)
圖(3)表示拋物線上半部及其函數: - 根號(3-X^2)。
(*)面積為正，一定要由下往上積分，或由左往右積分。
如果由上往下積分，就要變號。

******上面之補充說明有錯
上部分之函數為:Y=根號(1-X^2)，
上部分之函數為:Y=-根號(1-X^2)。
應改為
上部分之函數為:Y=根號(3-X^2)，
上部分之函數為:Y=-根號(3-X^2)。

2012-03-11 18:48:00 補充：
******上面之補充說明有錯{2012-03-11 18:33:49 補充}
也可以:
左半圓之函數為: X=根號(1-Y^2)
右半圓之函數為: X=-根號(1-Y^2)
應改為
左半圓之函數為: X= - 根號(1-Y^2)
右半圓之函數為: X= 根號(1-Y^2)

2012-03-11 19:08:09 補充：
為什麼數學複雜到這種程度還有人會?
ANS: (0)數學是單純(不複雜)但不容易(難)
(Mathematics is simple but not easy.)。
(1)熟能生巧，多做多想，多學習標準作法
(數學家如何處理問題)。你想想小時拿筷子，學了幾年才會，
對為什麼學數學需那麼多時間，就不會奇怪了
(2)也需要左腦比右腦發達一點吧。
(3)你已經很好了，因為你已具備
一種學習數學的基本能力-能正確的知道不懂的問題在哪裡。
(4)祝你學習愉快，有進展。

到下面的網址看看吧

▶▶http://qaz331.pixnet.net/blog

首先,這一張圖應該以逆時針轉90度來看會比較容易而你積分的方法有誤,當然不能夠得到最後答案首先你要理解dxdy是有次序之分,即是先積dx,後積dy可能文字解釋得不夠清楚,及書中的解釋不夠好,以下是步驟

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA00068622/o/161203100942513872927390.jpg


2012-03-11 12:27:36 補充：
請注意,樓主的圖是寫f(y),g(y),即是in terms of y,
如無必要是無需要更改成f(x),g(x),即in terms of x

你的寫法是不正確的

因為當將x = 3 - y^2 變成 y = √(3 - x) 後y不能出現負數﹐導致積分範圍和原題目不一樣；而且y = x - 1 也不總是在 y = √(3 - x)之上﹐因此你的積分上下限設定也不成立

結論是這題必需按照教科書的解法來做。

希望幫到你