1.算面積時 將該環片取下 則成一近似之長弧條形 其長度為2 pie y 寬度則為ds=(dx^2+dy^2)^1/2 (取出該部分會成一直角三角形 二股
為 dx 及 dy 斜邊為ds 故依畢氏定理得上式) 故其面積da=2 pie y*ds=2 pie y*(dx^2+dy^2)^1/2=2 pie y*[1+(dy/dx)^2]^1/2 =2 pie f(x)*[1+(dy/dx)^2]^1/2 故全部外側表面積即為上式之積分值2.算體積時 將該環片取下 則成一圓盤形體 其斷面積為 pie y^2=pie *f(x)^2 厚度則為dx(因僅最邊緣之點為斜面ds 但其他部分全為dx 故取dx) 故該圓盤體積dv=pie *f(x)^2 *dx 全部體積則為前式之積分值
2012-03-09 15:40:12 補充：
少了dx應為 : 故其面積da=2 pie y*ds=2 pie y*(dx^2+dy^2)^1/2
=2 pie y*[1+(dy/dx)^2]^1/2*dx =2 pie f(x)*[1+(dy/dx)^2]^1/2*dx
考慮在 x 軸 dx 長截出的曲面, 它不是 dx, 而是 ds, 因為
ds^2 = dx^2 + dy^2
==> ds/dx = √[1 + (dy/dx)^2]
==> ds/dx = √[1 + (f '(x))^2]
==> ds = √[1 + (f '(x))^2] dx
這一個環體的半徑是 y, 即是 f(x), 所以表面積是 2π f(x) ds,
即 2π f(x) √[1 + (f ' (x))^2] dx
(同你寫的有出入, 你的沒有平方, 應該是你漏打.)
2012-03-09 14:02:52 補充：
無錯, 弧線的長是√[1+(f'(x))^2] dx, 那個環形的半徑是 y, 即是 f(x), 這個圓柱體的曲面的面積是圓周乘高, 即是 2πR 乘弧長, 亦即是 2π y ds, 積算總表面面積的時候就是 :
∫ 2π y ds
= ∫ 2π f(x) √[1+(f '(x))^2] dx
= 2π ∫ f(x) √[1+(f '(x))^2] dx
這是求表面積的公式.用y(x)取代f(x).推導如下:
dA=2πy*ds
=2πy*√[(dx)^2+(dy)^2]
=2πy*√(1+y'^2)*dx
=2*π*f(x)*√[1+f(x)'^2]*dx
A=2π∫f(x)*√[1+f(x)'^2]*dx
公式似乎有錯? 應是 2π∫ f(x)√[1+(f'(x))^2] dx
√[1+(f'(x))^2] dx = ds, 是弧長增量之微分形式.
考慮在 x 軸 dx 長截出的曲面, 即 x 至 x+dx 範圍之曲面,
這是一個環狀體, 其 "寬度" 不是 dx 而是大約 ds = √[1+(f'(x))^2] dx
而環的半徑是 f(x), 因此這個環的面積是 2πf(x)．ds = 2πf(x)√[1+(f'(x))^2]
2012-03-09 14:02:18 補充：
考慮 x 軸方向 x 至 x+dx 這一小段.
算表面積時, 如上述, 是一環形. 由於考慮 dx 很小, f(x)≒f(x+dx),
因此可把它看成接近一完美環形. 如把這環剪開, 其長約 2π f(x),
其寬是 ds, 故面積為 2π f(x) ds = 2πf(x)√[1+(f'(x))^2]
若算體積, 可看成是一厚 dx 半徑 f(x) 的圓盤, 這圓盤體積是
π(f(x))^2．dx.
這就像考慮 y=f(x) 曲線下, 在 x=a 至 x=b 的面積時是 ∫ f(x) dx,
而計算曲線長時是 ∫ ds = ∫√[1+(f'(x))^2] dx.
