數學 方程及座標幾何

「AP(-5, 0), BQ(5, 0)」的意思不明，假設為「A(-5, 0), B(5, 0)」

由 B 作一平行 L 之直線 BR，與 AP 相交於 R。

設 AP 的斜率為 m。

AP 的方程式：
x - 0 = m(y + 5)
x = my + 5m ...... [1]

BR 的斜率 = L 的斜率 = -4/3
BR 的方程式：
x - 0 = (-4/3)(y - 5)
x = (-4/3)(y - 5) ...... [2]

AP 與 BR 相交於 R。
[1] = [2] :
my + 5m = (-4/3)(y - 5)
3my + 15m = -4y + 20
3my + 4y = 20 - 15m
y = (20 - 15m)/(3m + 4)

把 y = (20 -15m)/(3m + 4) 代入 [2] :
x = (-4/3)[(20 - 15m)/(3m + 4) - 5]
x = -(4/3)(20 - 15m - 15m - 20)/(3m + 4)
x = 40m/(3m + 4)

所以 R = (40m/(3m+ 4), (20 - 15m)/(3m + 4))

PQ // BR 及 ARP // BQ，故PRBQ 為一平行四邊形。
平行四邊形對邊等長，故 BR = PQ = 5
√{[40m/(3m + 4) - 5]² + [(20 - 15m)/(3m + 4)]²} = 5
√{[(40m - 15m - 20)/(3m + 4)]² + [(20 - 15m)/(3m + 4)]²} = 5
[(25m - 20)/(3m + 4)]² + [(20 - 15m)/(3m + 4)]² = 5
(625m² - 1000m + 400 + 400 - 600m+ 225m²)/(9m² + 24m + 16) = 5
850m² - 1600m + 800 = 45m² + 120m + 80
805m² - 1720m + 720 = 0
161m² - 344m + 144 = 0
(23m - 36)(7m - 4) = 0
m = 36/23 或 m = 4/7

所以，斜率為 36/23 或 4/7。

設 AP 的鈄率為 m, 所以 BQ 的也是 m.
因為點 A 是 (-5, 0), 所以 AP 的程式是 :
y = mx + 5m . . . . . . . . . (i)
因為點 B 是 (5, 0), 所以 BQ 的程式是 :
y = mx - 5m . . . . . . . . . (ii)
又 PQ 的程式是 :
4x + 3y = 25 . . . . . . . . (iii)
從 (i), (iii), 得,
4x + 3mx + 15m = 25
==> x = (25 - 15m)/(4 + 3m)
代入 (i), 得 y = 45m/(4 + 3m)
從 (ii), (iii), 得,
4x + 3mx - 15m = 25
==> x = (25 + 15m)/(4 + 3m)
代入 (ii), 得 y = 5m/(4 + 3m)
所以, 點 P 是 ((25 - 15m)/(4 + 3m), 45m/(4 + 3m)),
點 Q is ((25 + 15m)/(4 + 3m), (5m/(4 + 3m))
因為 PQ = 5, 所以
[(25 - 15m)/(4 + 3m) - (25 + 15m)/(4 + 3m)]^2 + [45m/(4 + 3m) - 5m/(4 + 3m)]^2 = 5^2
==> (-30m)^2 + (40m)^2 = 25(4 + 3m)^2
==> 36m^2 + 64m^2 = 16 + 24m + 9m^2
==> 91m^2 - 24m - 16 = 0
==> (13m + 4)*(7m - 4) = 0
==> m = -4/13 or 4/7
所以 AP 的鈄率是 -4/13 或 4/7