奧林匹克數學題目

寫成任何 9 個連續整數都可被 9 整除 . . . . . . . . . . (i)
除以 9 的餘數 = 該數的數字和除以 9 的餘數 . . . . (ii)
所以
200020012002200320042005200620072008200920102011÷9的餘數
= 200920102011÷9的餘數
= (2 + 9 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1)÷9的餘數
= 0

基本上不用那麼麻煩
給你觀念比較好
求3的倍數
只要把一個多位數的全部數字加起來就可以了
加起來是3的倍數的話
就是了
求9的話
就把全部數字加起來
除以9看看
這些加起來就做72
72為9的倍數
所以200020012002200320042005200620072008200920102011
為9的倍數

首先引入一個新名詞 "數字總和".

"數字總和" = 各數位上的數字之和, 例: 1234的數字總和 = 1+2+3+4 = 10

回到問題上,

任何整數除以 9 的餘數 = 該數的數字總和除以 9 的餘數


所以,

200020012002200320042005200620072008200920102011 ÷ 9 的餘數

= ( 2+2+1+2+2+2+3+2+4+2+5+2+6+2+7+2+8+2+9+2+1+2+1+1 )÷ 9 的餘數

= 72 ÷ 9 的餘數

= 0

假設一個 n 位數寫成 "an-1 an-2 ... a1 a0", 其數值為:

an-1 x 10n-1 + an-2 x 10n-2 +... + a1 x 101 + a0 x 100

= an-1 x [(10n-1 - 1) + 1] + an-2 x [(10n-2 - 1) + 1] +... + a1 x [(101 - 1) + 1] + a0

由於 10n-1 - 1, 10n-2 - 1, ... , 101 - 1 皆可被 9 除盡, 所以當此數被 9 除時, 其餘數相當於當 an-1 + an-2 + ... + a1 + a0 被 9 除時的餘數.

即所需答案為:

2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 + 2 + 6 + 2 + 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 82 被 9 除時的餘數, 即 1.

2012-02-29 14:07:46 補充：
最後一行應為:

2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 + 2 + 6 + 2 + 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 72 被 9 除時的餘數, 即 0

22224445778022257782445022291119112022324455779 remainder is 0.