數學知識交流---整除判定證明

在判定一個數能否被11, 21, 31, ......, 91整除時，可以用如下的方法：
將該數除末位數字外的所有數的數值分別與1, 2, 3, ......, 9倍末位數字相減，得出差，繼續把這個差進行以上步驟，直至剩下2-3位數時，判斷它是否為11, 21, 31, ......, 91的倍數，若是，則原數也為11, 21, 31, ......, 91的倍數；若否，則原數不是11, 21, 31, ......, 91的倍數。

(1) 此法能推廣至所有形如10k + 1(k為不小於1的整數) 的數嗎？
(即將該數除末位數字外的所有數的數值分別與k倍末位數字相減得出差......)

(2) 承上題，若能推廣，試證明此法。

方法例子：

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA06399860/o/701202280042313873442640.jpg


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA06399860/o/701202280042313873442641.jpg


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA06399860/o/701202280042313873442652.jpg


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA06399860/o/701202280042313873442653.jpg