空間向量的內積

設A，B，C分別為(1，1，1)，(2，3，4)，(3，2，1)，若P在直線AB上，
向量PC與AP向量的內積最小值m，最大值M，數對(m，M)?
Sol
直線AB：(x－1)/1=(y－1)/2=(z－1)/3=t
x=t+1，y=2t+1，z=3t+1
P(t+1，2t+1，3t+1)
PC向量=(3－t－1，2－2t－1，1－3t－1)=(2－t，1－2t，－3t)
AP向量=(t+1－1，2t+1－1，3t+1－1)=(t，2t，3t)
PC dot AP
=t(2－t)+2t(1－2t)+3t(－3t)
=－14t^2+4t
=－14(t^2－2t/7)
=－14(t^2－2t/7+1/49)+14/49
=－14(t－1/7)^2+1/7
m=－∞，M=1/7
(m，M)=(－∞，1/7)