微積分的高手幫我一下

圖片參考：http://i1096.photobucket.com/albums/g340/pingshek/2012-02-22.png


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∫r (lnr)^2 dr

[令r=e^x ;dr =e^x dx]

=∫ e^(2x) x^2 dx
=1/2 ∫ x^2 de^(2x)
=x^2 e^(2x) /2 - ∫ x e^(2x) dx
=x^2 e^(2x) /2 - 1/2 ∫ x de^(2x)
=x^2 e^(2x) /2 - x e^(2x) /2 + 1/2 ∫ e^(2x) dx
=x^2 e^(2x) /2 - x e^(2x) /2 + e^(2x) /4
[還原 r]
=r^2 (ln r)^2 /2 - r^2 ln r /2 + r^2 /4

分部積分. 先對 r 積分.

∫r*ln(r^2) dr~這樣寫比較清楚吧, let u=r^2--> du=2rdr
=∫(1/2) ln(u) du
=(1/2)∫ ln(u) du
=(1/2)*[uln(u)-u]
=(1/2)*[r^2ln(r^2)-r^2]+C

note:∫ ln(u)du, [u*ln(u)]'=ln(u)+1
=u*ln(u)-∫du
=uln(u)-u