數論證明 (試證p+4是15的倍數)

因 p 為質數 , 依 mod 3 分類 ,
當 p = 3k + 1 , 則 p + 8 = 3k + 9 = 3(k+3) 非質數不合。
故 p = 3k - 1 , (k > 2)。依 mod 5 分類 ,
當 p = 5n - 1 , 則 p + 6 = 5n + 5 = 5(n+1) 非質數不合。
當 p = 5n - 2 , 則 p + 2 = 5n (n > 2)非質數不合。
當 p = 5n + 2 , 則 p + 8 = 5n + 10 = 5(n+2) 非質數不合。
故 p = 5n + 1。p + 4 = 3k - 1 + 4 = 3k + 3 = 3(k+1) 為 3 之倍。p + 4 = 5n + 1 + 4 = 5n + 5 = 5(n+1) 為 5 之倍。綜合得 p + 4 是 15 的倍數。

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這題是否可用鴿籠原理來求?!參考看看:

1.質數必為奇數,且在p,p+2,p+4,p+6,p+8必為連續奇數

2.5個個位數是奇數,且必有一個是5的倍數(5個連續奇就必包含個位數是1,3,5,7,9)

3.個位數是奇數,且最少有一個是3的倍數(因為3的倍數,會在個位數0~9中最少三個,且是由 三個連續的數x3 產生的,所以其中3必會最少乘上一個奇數倍,而成為奇數)

所以,如果要符合這五個連續奇數且其中四個必為質數,則不為質數的必然需要是5且是3的倍數,所以該數必為15的倍數!!

再者,因為是奇數且是15倍數,則是3的倍數且奇數的數,就會往前往後空出一個可容下4個不為3倍數的奇數

例如
p+4=15,則前一個3倍數的奇數為9,後一個3倍數的奇數為21,中間就有4個奇數(不一是質數,但不為3的倍數)!!