請證明X^4+Y^4=Z^2沒有正整數解

費馬無窮遞降法 :
反設 x⁴+ y⁴= z² 有正整數解 , 我們考慮使 z 值最小的任何一組解。明顯此解 x , y 互質(否則方程兩端可約 , z便不是最小) ,
因而 (x² , y² , z) 是一組基本勾股數。
由基本勾股數公式 , 必有互質正整數 a > b , 使得x² = 2ab
y² = a² - b²
z = a² + b²
x² = 2ab 為偶 , 故 y² 為奇(x , y互質) , 從而 a , b 一奇一偶。
若 a 偶 b 奇 , 則 a² - b² = 3 (mod 4) 不合 y² = 1 (mod 4) ,
故 a 必為奇 , b 必為偶。於是由 x² = 2ab 可設 a = A² , b = 2B² , 則
y² = (A²)² - (2B²)==>
y² + 4B⁴= A⁴ , (y , 2B² , A²) 仍是一組基本勾股數 , 存在互質 m > n 使
y = m² - n²
2B² = 2mn
A² = m² + n²
由 B² = mn 及 m , n 互質 , 存在正整數 r , s 使 m = r² , n = s² , 於是得到
A² = (r²)² + (s²)²==>r⁴+ s⁴= A² ,
這表明 (r , s , A) 是原方程的一組正整數解 , 且 A = √a < a² + b² = z , 與 z 是最小值茅盾!
故反設不成立 , x⁴+ y⁴= z² 無正整數解。

古書所謂弓=x.股=n.弦=n+1的問題
則x^2+n^2=(n+1)^2
=> x=(n^2-1)/2
When n=3. x=4 & x+1=5
n=5. x=12 & x+1=13
n=7. x=24 & x+1=25
n=9, x=40 & 41
n=11, x=84 & 85
..................
找不到任何1組可以開方=正整數
所以原題沒有解