一道數學題:求b/a+d/c+f/e最大可能值

因總長為 47 分鐘整 , 故 b 秒 + d 秒 + f 秒結果亦為整數分鐘 ,
而 b + d + f < 60 + 60 + 60 = 180
故 b + d + f = 0 或 b + d + f = 60 或 b + d + f = 120。不失一般性 , 設 0 < a ≤ c ≤ e 。當 b + d + f = 0 , b/a + d/c + f/e = 0/a + 0/c + 0/e = 0 不是最大。
當 b + d + f = 60 ,
b/a + d/c + f/e ≤ b/a + d/a + f/a = (b+d+f)/a = 60/a ≤ 60 非最大值。
故當 b + d + f = 120 時有最大值。
由此 a + e + c = 47分 - 120秒 = 45 分

轉而考慮分母 , 當 a ≥ 2 ,
b/a + d/c + f/e ≤ b/2 + d/2 + f/2 = (b+d+f)/2 = 120/2 = 60 不是最大。
故只有當 a = 1 時 , b/1 + d/c + f/e 有最大值。
又當 c ≥ 4 ,
b/1 + d/c + f/e
≤ b/1 + d/4 + f/4
= 3b/4 + (b/4 + d/4 + f/4)
= 3b/4 + 120/4
< 3(60)/4 + 120/4
= 75 非最大值。
故最大值發生在 c = 1 或 c = 2 或 c = 3 的時候。當 c = 3 , 則 e = 45 - a - c = 45 - 1 - 3 = 41 ,即 b/1 + d/3 + f/41 為最大值 , b 要盡量取大 , d 次之 , 而 f 要盡量取小。
故取 f = 41 ,
則 b + d = 120 - 41 = 79 , 故 d = 79 - b > 79 - 60 = 19。
所以 d 取 21 , 則 b 是 58最大值 = 58/1 + 21/3 + 41/41 = 66 不是最大。
當 c = 2 , 則 e = 45 - a - c = 45 - 1 - 2 = 42 ,
妨上述方法 , b/1 + d/2 + f/42 最大值 = 58/1 + 20/2 + 42/42 = 69 非最大值。
當 c = 1 , 則 e = 45 - a - c = 45 - 1 - 1 = 43 ,
b/1 + d/1 + f/43 最大值 = 59/1 + 18/1 + 43/43 = 78。
答 : b/a + d/c + f/e 最大可能值是 78。

以下是我的猜測(不保證正確，有錯請見諒)：
a=15, b=45, c=15, d=45, e=15, f=30
驗算：15分45秒+15分45秒+15分30秒=47分
b/a+d/c+f/e=3+3+2=8

2012-02-12 00:01:26 補充：
居然才一下就發現更大的解...
a=28, b=56, c=7, d=14, e=10, f=50
驗算：28分56秒+7分14秒+10分50秒=47分
b/a+d/c+f/e=2+2+5=9

2012-02-12 00:15:49 補充：
等等！這應該真的是最大解了。
a=43, b=43, c=1, d=18, e=1, f=59
驗算：43分43秒+1分18秒+1分59秒=47分
b/a+d/c+f/e=1+18+59=78

b+d+f=120，不這麼假設很難找解。

我猜應該是59/1+59/1+58/43