三角(垂心，形心etc..(3題)呵

1.
答案是： D. I、II 及III

等腰三角形ABC 的高 AD，把 ΔABC 分割成兩個全等三角形。
因此，AD 除了是 ΔABC 的高外，亦是 ΔABC 的中線，以及是 BC 的垂直平分線

I. 正確
外心是三角形的三條垂直平分線的交點。
因為 AD 是 BC 的垂直平分線，所以外心在 AD上。

II. 正確
垂心是三角形的三條高的交點。
因為 AD是 ΔABC 的高，所以垂心在 AD 上。

III. 正確
形心是三角形的三條中線的交點。
因為 AD 是 ΔABC 的中線，所以形心在 AD上。


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2.
答案是： B. 18°

設 AB = BC = CD = DA = y

在 ΔABE 中：∠ABE + ∠AEB = 180° - 112° = 68°
因為 AB= AE，所以 ΔABC 是等腰三角形：∠ABE = ∠AEB
因此，∠ABE = 68° ÷ 2 = 34°

∠FCB+ ∠CBE= 180° (同側內角和 CF//BE)
∠FCB+ (90° + 34°) = 180°
∠FCB= 56°

∠DCF= 90° - 56° = 34°

ΔCDF 中：tan∠DCF= DF/AB
DF = AB tan∠DCF = y tan34° = 0.675y

AF = AD - DF = y - 0.675y = 0.325y

ΔABF 中：tan∠ABF= AF/AB = 0.325y/y = 0.325
∠ABF= 18° (準確至接近的度)


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3.
答案是： B. 18°

本題與第 2 題相同。

已知AB= AC, AD垂直BC

∴∠BAD = ∠CAD, BD =CD (等腰△性質)

△外心是三條邊垂直平分線(中垂線)交點。

∵AD是BC垂直平分線,所以△ABC外心是在AD上

(1)正確


AD垂直BC,所以AD是△ABC,以BC為底邊的高。

△垂心是三條邊的高交點。

所以△ABC垂心是在AD上
(2)正確


BD =CD (等腰△性質)

∴AD是△ABC以BC為底邊的中線。

△形心是三條中線的交點。

所以△ABC形心是在AD上

(3)正確