等差數列 加 等差中項

1. 有三數成等差數列，其和為18，積為210，求此三數的平方和
Sol
設三數為a－d ，a，a+d
(a－d)+a+(a+d)=18
a=6
(6－d)*6*(6+d)=210
36－d^2=35
d^2=1
(a－d)^2+a^2+(a+d)^2
=3a^2+2d^2
=108+2
=110

2.有三數由小到大排列成一等差數列，已知其和為－24，首項與末項的平方差
為288，求此三數分別為多少?
Sol
a－d，a，a+d
3a=－24
a=－8
(a－d)^2－(a+d)^2=288
－4ad=288
d=288/32=9
－17，－8，－1

3.有四數由小排到大排列成一等差數列，其和為198，且末兩項的和為105，
求此四數分別為何?
Sol
設四數為a－3d，a－d ，a+d，a+3d
4a=198
a=49.5
2a+4d=105
99+4d=105
4d=6
d=1.5
45，48，51，54

4.有五個數成等差數列，其和為10，首相和末項的積為－32，求此數為何?
Sol
a－2d，a－d，a，a+d，a+2d
5a=10
a=2
(a－2d)(a+2d)=－32
4d^2－a^2=32
d^2=9
d=+/-3
－4，－1，2，5，8

5.某一直角三角形的周長為348公分，邊長成等差數列，求此三角形的面積.
Sol
設三邊為a－d ，a，a+d
(a－d)^2+a^2=(a+d)^2
2a^2－2ad+d^2=a^2+2ad+d^2
a^2=4ad
a=4d
3a=348
a=116
d=29
A=(116-29)*116/2=5046cm^2

6.設一直角三角形的三邊長成等差數列，其面積為216平方公分，求此三角形
的周長為多少?
Sol
設三邊為a－d ，a，a+d
(a－d)^2+a^2=(a+d)^2
2a^2－2ad+d^2=a^2+2ad+d^2
a^2=4ad
a=4d
(a－d)*a/2=216
6d^2=216
d=6
a=24
周長=3a=72cm

1. 請照著題目做
和為18 : a-d + a + a+d=18 → a=6
積為210 : ( 6-d )*6*( 6+d )=210
→216-6d^2=210
→d^2=1 → d = ±1
得知數列為 5,6,7 或 7,6,5 ( 兩個沒什麼差別因為是求平方和 )
5^2+6^2+7^2= 25+36+49 = 110

2. 跟上面那題差不多
由小排到大 可假設3數為 a-d, a, a+d
和為-24 : a-d + a + a+d = -24 → a = -8
首項與末項平方差為-288 :
( a-d )^2 - ( a+d )^2 = ( a^2-2ad+d^2 ) - ( a^2+2ad+d^2 ) = -4ad
→ -4*(-8)*d = -288
→ d = -9
得3數為 1, -8, -17
這題的題目怪怪的 ( 題目寫由小排到大算出來卻不是這樣 )

3. 假設4數為 a-3d, a-d, a+d, a+3d 公差:2d
和為198 : ( a-3d )+( a-d )+( a+d )+( a+3d ) =198
→ 4a=198 → a = 49.5
末兩項和為105 : 49.5+d + 49.5+3d = 105
→ 4d = 6 → d = 1.5
推得數列 45, 48, 51, 54

4. 設五數為 a-2d, a-d, a, a+d, a+2d
和為10 : a-2d + a-d + a + a+d + a+2d = 10
→ 5a =10 → a=2
首項和末項的積為-32 : ( 2-2d )( 2+2d ) = -32
→ 4-4d^2=-32
→ 4d^2 = 36
→ d^2 = 9 → d = ±3
推得數列 -4, -1, 2, 5, 8 or 8, 5, 2, -1, -4

5. 設3邊長為 a-d, a, a+d
周長為348 → 3邊和為348 : 3a = 348
→ a = 116
因為是直角三角形 可用畢氏定理
( a-d )^2 + a^2 = ( a+d )^2
→ a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2
→ a^2 = 4ad
→ 116^2 = 4*116*d
→ 116 = 4d → d =29
得知3邊長為 87, 116, 145
面積: 87*116 / 2 = 5046平方公分

另外提供一個速算法
直角三角形裡邊長成等差的只有3, 4, 5這個三角形
算出a再用比例去推其他邊長就可以了 ( 3:4:5 = X:116:Y )

6. 跟上一題一樣 假設邊長a-d, a, a+d
面積為216平方公分 : ( a-d )*a / 2 = 216
→ a^2 - ad = 432 有兩個未知數不能解 先擺著
用畢氏定理 ( a-d )^2 + a^2 = ( a+d )^2
→ a^2 = 4ad → a = 4d
代入剛剛那個式子
16d^2 - 4d^2 = 432
→ d^2 = 36
→ d = 6 ( 不用考慮負的 因為邊長不可能為負 )
a = 24
周長 : a-d + a + a+d = 3a = 72

用另一個方式算算看
因為和3,4,5成比例
所以邊長假設為3x, 4x, 5x
3x*4x / 2 = 216
→ 12x^2 = 432
→ x^2 = 36
→ x = 6
周長: 3*6 + 4*6 + 5*6 = 18 + 24 + 30 = 72


通常把邊長假設為a-d, a, a+d
是為了把d消掉方便計算
習慣之後你會覺得這好用許多
國中也大多會教這種方法

請問這個^是什麼意思
*這個是什麼意思

1.
a-d+a+a+d=18
==>a=6
(a-d)a(a+d)=210
==>a^3-ad^2=210
==>216-6d^2=210
==>d=+-1
5,6,7或7,6,5
三數的平方和=5^2+6^2+7^2=110 2.
設三數為a-d, a, a+d
a-d+a+a+d=-24
==>a=-8
(a-d)^2-(a+d)^2=(a-d+a+d)(a-d-a-d)=-288
==>2a*(-2d)=-288
==>2*(-8)(-2d)=-288
==>d=-9此三數分別為1,-8,-17
3.
設四數為a-3d, a-d , a+d, a+3da-3d+a-d+a+d+a+3d=198
==>4a=198
==>a=49.5(a+d)+(a+3d)=105
==>2a+4d=105
==>99+4d=105
==>d=1.5此四數分別為45,48,51,54


2012-02-09 00:04:37 補充：
4.
設五個數為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d

a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=10
==>a=2
(a-2d)(a+2d)=-32
==>a^2-4d^2=-32
==>4-4d^2=-32
==>d=+-3

五個數為-4,-1,2,5,8或8,5,2,-1,-4


5.
設三邊長為a-d,a,a+d
==>a-d+a+a+d=348
==>a=116
(a-d)^2+a^2=(a+d)^2
==>a=4d
==>4d=116
==>29
三邊長為87,116,145

三角形的面積=87*116/2=5046(cm^2)

2012-02-09 00:04:44 補充：
6.
設三邊長為a-d,a,a+d
(a-d)^2+a^2=(a+d)^2
==>a=4d
(a-d)a/2=216
==>3d*4d=432
==>d=6,(-6不合)
三邊長為18,24,30
三角形的周長=18+24+30=72(cm)

2012-02-09 20:19:37 補充：
請問這個^是什麼意思幾次方如:2^3=8 ,二的三次方等於八
*這個是什麼意思 乘的意思如: 2*3=6, 二乘以三等於六

2012-02-09 20:25:44 補充：
離國中很遠了
哪知目前教怎樣
應該可以慢慢接受吧

或許假設法比較不好接受
但為解題如此設可削掉未知數
演算速度會較快