form 4 奧數問題 20点 高手進

1)設最少有x人投了票 ,
分子與分母之差愈小,分子分母也愈少。
由 分子/分母 = 99.3%（準確至小數點後一個位）
分子與分母之差有可能是 1 ,
設 (x - 1) / x = 99.3%（準確至小數點後一個位）
則
99.25% ≤ (x - 1) / x < 99.35%
只需考慮 99.25% ≤ (x - 1) / x ,
(99.25%) x ≤ x - 1
0 ≤ (0.75%) x - 1
1 / (0.75%) ≤ x
x ≥ 133.333...
x ≥ 134最少有 134 人投了票。

2)氈子上長方形個數= 10x10 氈子長方形個數 - 包含左上角長方形個數 - 包含右上角長方形個數
+ 同時包含左、右上角長方形個數(即全塊氈子)= (11C2)² - 10² - 10² + 1 = 2826 。

3)x² - px + p + 2002 = 0令兩根為 α 及 β , 則
α + β = p
α β = p + 2002相減 :
α β - (α + β) = 2002
1 + α β - (α + β) = 2003
(1 - α) (1 - β) = 2003
(1 - α) (1 - β) = (±2003)(±1)當 1 - α = 2003 , 1 - β = 1 ,
α = 2002 , β = 0 (捨去因不合方程的根為非零整數)當 1 - α = - 2003 , 1 - β = - 1 ,
α = 2004 , β = 2故 p = 2004 + 2 = 2006 。

4)記一個編號的所有因數中有 x 個是偶數 , y 個是奇數。
則該編號的糖果增幅為 3y - x ,
故所有 3y - x > 0 的編號都比最初多了糖果。
即任何奇因數個數的3倍大於偶因數個數的編號都比最初多了糖果。
故這些編號絕不能含有因子 2³ ,
否則對於任一奇因數 p 都並存偶因數 2p , 4p 及 8p
使偶因數個數達奇因數個數的3倍。故不含因子 2³ (即非8的倍數的編號)皆多了糖果。共 2003 - [2003/8] = 2003 - 250 = 1753 位小朋友比最初多了糖果。


5)

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA04628698/o/701202020112813873434150.jpg
q
= √2 AB
= √2 ( 14/√2 + 13 + 12/√2 - (9 + 10/√2) )
= 14 + 13√2 + 12 - 9√2 - 10
= 16 + 4√2
= 21.65...
= 22 (準確至最接近整數)

6)2009 位數 n
= 2009000…0002009
= 2009 x 1000...000 0001 (共 2004 個 0)
= 7² x 41 x 1000...000 0001
明顯 2 , 3 , 4 , 5 , 6 不整除 1000...000 0001 ,
故 n 的最小質因數 = 7 。

7)2(0 + 1 + 2 + ... + 8) ≤ N 的數字和 ≤ 2(1 + 2 + 3 + ... + 9)
72 ≤ N 的數字和 ≤ 90(13 × 17 × 41 × 829 × 56659712633) ÷ 9 的餘數
= (1+3) x (1+7) x (4+1) x (8+2+9) x (5+6+6+5+9+7+1+2+6+3+3) ÷ 9 的餘數
= 4 x 8 x 5 x 19 x 53 ÷ 9 的餘數
= 4 x 8 x 5 x 1 x 8 ÷ 9 的餘數
= 1280 ÷ 9 的餘數
= (1+2+8+0) ÷ 9 的餘數
= 11 ÷ 9 的餘數
= 2在 72 至 90 中 , 只有 74 或 83(單數不合) 除以 9 的餘數是 2 ,
故 N 的數字之和 = 74 。

8)[ n------12---------9-------------5---------------0 ]
設每個洞的水位流速為每分鐘 S cm , 則(n - 12)/(3S) + (12 - 5)/(2S) + 5/S = 5
2(n - 12) + 21 + 30 = 30S
2n + 27 = 30S ...........(1)
(n - 12)/(4S) + (12 - 9)/(3S) + (9 - 5)/(2S) + 5 /S = 4
3(n - 12) + 12 + 24 + 60 = 48S
n + 20 = 16S .............(2)(2)*2 - (1) :40 - 27 = 2S
S = 6.5 , 代入 (2) :n = 84