高中 因式倍式 三題

<1>
deg f(x)=3，f(1)=f(2)=f(3)=4，f(4)=1，求f(x)=?
Sol
f(x)=a(x－1)(x－2)(x－3)+4
f(4)=a(4)(2)(1)+4=1
6a=－3
a=－1/2
f(x)=－(1/2)(x－1)(x－2)(x－3)+4
=－(1/2)(x^3－6x^2+11x－6)+4
=(－1/2)x^3+3x^2－(11/2)x+7

<2>degf(x)=4，f(x)除以(x－1)^3，餘式為3x－1，f(x)除以(x+2)，餘74
f(x)除以(x－2)，餘10，求f(x)=?
Sol
f(x)=a(x－1)^3(x+2)+b(x－1)^3+3x－1
f(－2)=b(－3)^3－7=74
b=－3
f(x)=a(x－1)^3(x+2)－3(x－1)^3+3x－1
f(2)=a(4)－3+5=10
a=2
f(x)=2(x－1)^3(x+2)－3(x－1)^3+3x－1
=2x^4－5x^3+3x^2+4x－2

<3>
a，b，c皆為整數，3x+2是(a+2)x^3+bx^2+cx+a的因式
又a介於200到300之間(含200，300)，問此種a有多少個?
Sol
3｜(a+2)，2｜a
a=2m
3｜(2m+2)
200<=2m<=300
100<=m<=150
m=101，104，107，….，149
(149－101)/3+1=17




2012-02-03 00:50:08 補充：
degf(x)=4
f(x)除以(x－1)^3(x+2)設商為a，餘式q(x)
q(x)可能為3次，2次，1次，0次
設q(x)除以(x－1)^3商為b