Application of differentiation

1a y'=(1+x)'e^(-2x)+(1+x)(e^(-2x))'
=e^(-2x)-2(1+x)(e^(-2x))
=e^(-2x)-(2+2x)(e^(-2x))
=(-2x-1)e^(-2x)
y"=(-2x-1)'e^(-2x)+(-2x-1)(e^(-2x))'
=-2e^(-2x)-2(-2x-1)(e^(-2x))
=-2e^(-2x)+(4x+2)(e^(-2x))
=4e^(-2x)
1b y'=0
x=-1/2
Sub x=-1/2 into y
y=1/(2e)
(0,e/2) is an inflexion point.
x在負無限到-1/2，y值一直上升to e/2。
x在-1/2到正無限，y值下降並接近0。
所以x=-1/2時，y is maximum.
1c 原式=x->無限 (x+1)/e^(2x)
If x->無限 f(無限)/g(無限)=0/0 或無限/無限 f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)
=1/2e^(2x)
e^無限=無限 1/無限=0
1c=0
remark:1a 這些有2份function時可以用y=f(x)g(x)
y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
1b find y'=0 x=? can help you to know the inflexion

DO YOU HAVE ANY QUESTIONS ELSE???

y'' = 4xe^(-2x)
When y'' = 0 , 4xe^(-2x) = 0 , x = 0

When x < 0 , y'' < 0 , When x > 0 , y'' > 0

x=0 => y = (1+0)(1) = 1 ,
so ,
(0,1) is the only one point of inflection