高一數學寒假作業4題

1. 若x=0.8989，則√{(x－1/x)^2+4}－√{(x+1/x)^2－4}=?
Sol
(x－1/x)^2+4=(x+1/x)^2
(x+1/x)^2－4=(x-1/x)^2
√{(x－1/x)^2+4}－√{(x+1/x)^2－4}
=(x+1/x)－(1/x－x)
=2x

2. 若x，y為實數且2x^2+2y^2=2x+2y－1，則3x－2y=?
Sol
2x^2+2y^2=2x+2y－1
2x^2－2x+(2y^2－2y+1)=0
D=4－4*2*(2y^2－2y+1)>=0
1－4y^2+4y－2>=0
4y^2－4y+1<=0
(2y－1)^2<=0
y=1/2
2x^2+1/2=2x+1－1
4x^2+1=4x
x=1/2
3x－2y=1/2

3. 設正實數a之小數部分b(0<b<1)，且a^2+2b^2=15，則此正實數a=?
Sol
a=b+c
a^2+2b^2=15
a^2<=15
(1) c=0
a=b
a^2+2b^2=3b^2=15
b=√5(不合)
(2) c=1
a=b+1
b^2+2b+1+2b^2=15
3b^2+2b－14=0
b=(－2+/-√172)/6
b=1.852(不合)or b=－2.51(不合)
(3) c=2
a=b+2
b^2+4b+4+2b^2=15
3b^2+4b－11=0
b=(－4+/-√148)/6
b=1.361(不合)or b=－2.69(不合)
(3) c=3
a=b+3
b^2+6b+9+2b^2=15
3b^2+6b－6=0
b^2+2b－2=0b=(－2+/-√12)/2
b=－1+√3 or b=－1－√3(不合)
a=b+3=2+√3

4. 已知a為實數，若方程式(1+i)x^2+(a－2i)x+(3+i)=0有一實根，則此方程式
之虛根為?
Sol
(1+i)x^2+(a－2i)x+(3+i)=0
(x^2+ax+3)+i(x^2－2x+1)=0
x^2－2x+1=0
x=1
1+a+3=0
a=－4
(1+i)x^2+(－2－2i)x+(3+i)=0
(x－1)[(1+i)x－(3+i)]=0
虛根=(3+i)/(1+i)=(3+i)(1－i)/2=(3－3i+i+1)/2=2－i

1. √{(x - 1/x)^2 + 4} - √{(x + 1/x)^2 - 4}
= √(x^2 - 2 + 1/x^2 + 4) - √(x^2 + 2 + 1/x^2 - 4)
= √(x^2 + 2 + 1/x^2) - √(x^2 - 2 + 1/x^2)
= √{(x + 1/x)^2} - √{(x - 1/x)^2}
= (x + 1/x) - (x - 1/x)
= 2/x
= 2/0.8989
= 20000/8989

2. 2x^2 + 2y^2 = 2x + 2y - 1
=> x^2 - x + y^2 - y + 1/2 = 0
=> (x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 0
因為 x, y 是實數, 而實數的平方最少是 0, 所以
x - 1/2 = 0, y - 1/2 = 0
即 x = y = 1/2
3x - 2y = 1/2

3. 正實數 a 的整數部份是 3, 所以
(3 + b)^2 + 2b^2 = 15
=> 3b^2 + 6b - 6 = 0
=> b^2 + 2b - 2 = 0
=> b = -1 + √3 (或 -1 - √3, 捨去, 這是負數)
所以 a = 3 - 1 + √3, 即 2 + √3

4. 設方程式的實根為 r, 則
(1 + i)r^2 + (a - 2i)r + (3 + i) = 0
=> (r^2 + ar + 3) + i(r^2 - 2r + 1) = 0
所以
r^2 + ar + 3 = 0 . . . . . (ii)
r^2 - 2r + 1 = 0 . . . . . (iii)
從 (iii) 得 r = 1
代入 (ii) 得 a = -4
所以原式為
(1 + i)x^2 - (4 + 2i)x + (3 + i) = 0
=> x = {(4 + 2i) +/- √[(4 + 2i)^2 - 4(1 + i)(3 + i)]}/[2(1 + i)]
=> x = 1 或 (3 + i)/(1 + i)
所以此方程式之虛根為
(3 + i)/(1 + i)
= (3 + i)(1 - i)/2
= 2 - i


2012-01-28 15:22:38 補充：
對不起, 第一題的答案應該是1.7978
因為√{(x - 1/x)^2} = 1/x - x, 而不是 x - 1/x, (因為 1/x > x)