Modular Arithmetic

acb+bac+bca+cba+cab=3104，求abc；abc，bac，... 都是三位數
Sol
acb+bac+bca+cba+cab=3104
(100a+10c+b)+(100b+10a+c)+(100b+10c+a)+(100c+10b+a)+(100c+10a+b)=3104
122a+212b+221c=3104
(1) c=1
122a+212b=2883
122a+212b為偶數，2883為奇數(不合)
(2) c=2
122a+212b=2662
61a+106b=1331
找不到符合a，b
(3) c=3
122a+212b=2441
122a+212b為偶數，2441為奇數(不合)
(4) c=4
122a+212b=2220
61a+106b=1110
找不到符合a，b
(5) c=5
122a+212b=1999
122a+212b為偶數，1999為奇數(不合)
(6) c=6
122a+212b=1778
61a+106b=889
找不到符合a，b
(7) c=7
122a+212b=1557
122a+212b為偶數，1557為奇數(不合)
(8) c=8
122a+212b=1336
61a+106b=668
a=4，b=4
abc=448
(9) c=9
122a+212b=1115
122a+212b為偶數，1115為奇數(不合)

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acb + bac + bca + cba + cab = 3104
=> abc + acb + bac + bca + cba + cab = 3104 + abc
=> 222(a + b + c) = 3104 + abc
因為 3104 / 222 > 14
所以 15 <= (a + b + c) <= 18
222 * 15 - 3104 = 226, 但是 2 + 2 + 6 = 10 =/= 15
222 * 16 - 3104 = 448, 而 4 + 4 + 8 = 16
222 * 17 - 3104 = 670, 但是 6 + 7 + 0 = 13 =/= 17
222 * 18 - 3104 = 892, 但是 8 + 9 + 2 = 19 =/= 18
所以 abc 是 448, 即 a = b = 4, c = 8.