✔ 最佳答案
R.H.S.
= cos^3(θ)cos(3θ) + sin^3(θ)sin(3θ)
= cos^3(θ)[4cos^3(θ) - 3cos(θ)] + sin^3(θ)[3sin(θ) - 4sin^3(θ)]
= 4cos^6(θ) - 3cos^4(θ) + 3sin^4(θ) - 4sin^6(θ) …(*)
[以下將所有 cos^2(θ) 轉為 sin^2(θ) 再展開]
= 4[1 - sin^2(θ)]^3 - 3[1 - sin^2(θ)]^2 + 3sin^4(θ) - 4sin^6(θ)
= 4[1 - 3sin^2(θ) + 3sin^4(θ) - sin^6(θ)] - 3[1 - 2sin^2(θ) + sin^4(θ)] + 3sin^4(θ) - 4sin^6(θ)
= 4 - 12sin^2(θ) + 12sin^4(θ) - 4sin^6(θ) - 3 + 6sin^2(θ) - 3sin^4(θ) + 3sin^4(θ) - 4sin^6(θ)
= (-4 - 4)sin^6(θ) + (12 - 3 + 3)sin^4(θ) + (-12 + 6)sin^2(θ) + 4 - 3
= 1 - 6sin^2(θ) + 12sin^4(θ) -8sin^6(θ)
[一眼望唔清既 可以設 sin^2(θ) = u
條式變成 1 - 6u + 12u^2 - 8u^3
= (1 - 2u)^3]
= [1 - 2sin^2(θ)]^3
= cos^3(2θ)
當然, 可以將所有sin^2(θ) 轉做 cos^2(θ)… 由(*)開始
4cos^6(θ) - 3cos^4(θ) + 3sin^4(θ) - 4sin^6(θ)
= 4cos^6*(θ) - 3cos^4(θ) + 3[1 - cos^2(θ)]^2 - 4[1 - cos^2(θ)]^3
= 4cos^6*(θ) - 3cos^4(θ) + 3 - 6cos^2(θ) + 3cos^4(θ) - 4 + 12cos^2(θ) - 12cos^4(θ) + 4cos^6(θ)
= (4 + 4)cos^6(θ) + (-3 + 3 - 12)cos^4(θ) + (-6 + 12)cos^2(θ) + (3 - 4)
= 8cos^6(θ) - 12cos^4(θ) + 6cos^2(θ) - 1
= [2cos^2(θ) - 1]^3
= cos^3(2θ)
