1 SUPER HARD integration Q.

Evaluate ∫tan √x dx .
圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/amazing_integral/amazingintegral09.jpg

參考資料：
my wisdom of maths + result from http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+tan%28x%5E%281%2F2%29%29 + http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008030700186 + http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm#Dilogarithm + http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

2011-12-19 04:56:21 補充：
通常被數學主流視為no-closed form的integral其實還可以分為以下四大類：
1. 可以以收歛半徑遍及複域或者實域的無窮初等函數級數表示，即是能以一條式表示者
2. 只能以收歛半徑為有限域的無窮初等函數級數表示，若要使結果適用於整個域必需要分case者
3. 不屬於第1類和第2類但數學軟體仍然計算出能以特殊函數表示者，必需嚴格跟隨以特殊函數表示者

2011-12-19 04:57:34 補充：
4. 不屬於第1類和第2類且數學軟體仍不能計算者，若要強行計算只能以例如http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/7/2/a/72a1058ad2087aec467af24bddcf9479.png所示的公式硬解者

2011-12-19 05:18:51 補充：
這題是屬於第3類，原因主要如下：
1. tan x的maclaurin series的係數不是初等函數，且收歛半徑小，只有π/2，要拆開無限條式先至夠用（http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series#Trigonometric.2C_inverse_trigonometric.2C_hyperbolic.2C_and_inverse_hyperbolic_functions）。

2011-12-19 05:21:19 補充：
2. Li_2(複數)因為級數的收歛半徑的限制，不能亂寫（http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm#Dilogarithm）。
3. http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+tan%28x%5E%281%2F2%29%29能計算出以特殊函數表示的結果。

2011-12-19 05:24:48 補充：
而例如http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7011112800669則是屬於第4類，原因主要如下：
1. cot x的maclaurin series的係數不是初等函數，且收歛半徑小，只有π，要拆開無限條式先至夠用（http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series#Trigonometric.2C_inverse_trigonometric.2C_hyperbolic.2C_and_inverse_hyperbolic_functions）。

2011-12-19 05:26:39 補充：
2. http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+cot%28x%5E2%29不能計算出結果。

In wolframalpha, it inclucde the term Li ( Polylogarithm )
which is result of integrating ln(secx)dx
After integration by parts, integrating ln(secx)dx is unavoidtable!

2011-12-18 10:18:09 補充：
You know, many functions cannot be integrated into elementary functions.
such as error function.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABtan%E2%88%9Axdx

嗯………………………

2011-12-17 11:13:53 補充：
But the Q doesn't seem complicated...

2011-12-18 16:08:14 補充：
ummm...........................

2011-12-20 22:34:40 補充：
嗯…

那麼 integrate xtanx 是屬於哪款？

no closed form, i believe